03. Le bon sens des mots

Et en suite ....


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Septembre (semaine 39)

C’est amusant de commencer l’année par les suites.
D’habitude la suite, c’est ce qui vient ensuite. Et puis, jusqu’à présent, je connaissais les suites à la télé (Bob l’épongeLes Simpson, ou Years and years) et voilà qu’il existe des suites arithmétiques et des suites géométriques.

Et pour commencer, dans ce premier contrôle je me suis confrontée à cet exercice :

Une boîte contient 200 allumettes.
On les regroupe par paquets de la manière suivante :
on place une allumette puis on place trois allumettes,
puis 5, puis 7 et ainsi de suite.
À la fin il ne reste plus que 4 allumettes dans la boîte.

Combien y-a-t-il de « paquets » d’allumettes ?

Les mathématiques, impossible de mettre la main dessus, impossible d’en acheter une boite au supermarché, ce n’est pas du concret, pourtant on peut en parler.
En physique ; je peux toucher une résistance, un condensateur ou un pendule. Je peux utiliser un instrument pour visualiser la température. Rien de tel en mathématiques.

D’ailleurs que peut-on en faire d’autre que d’y penser et d’en parler. Ah ! Oui, on peut en faire ! Parfois ça ressemble à du concret : la boîte avec ses 200 allumettes n’est que mathématiques appliquées. Occasion de réaliser  et de pratiquer les idées du cours. En mathématiques la réalité nous fait signes. On peut rendre présent à l’esprit une idée soit par un dessin soit par une écriture ou soit encore en parlant, ou même en se parlant. Pour se saisir d’une idée, en faire un rapprochement avec une idée voisine.

Et, dans ce chapitre de math qui inaugure l’année, j’en repère  un, et même des signes, qui ne manquent pas de se dérober ; regardez-moi ça :
« \pmb{U_n} est un terme de la suite \pmb{\left(U_n\right)}. » Ce que le prof prononce : « U » indice « n » est un terme de la suite « Un » et même parfois, ai-je bien entendu ? « U » de « n ». Si j’applique les conseils que j’ai rassemblés précédemment, je commence par reconnaître les mots « suite » et « termes » comme appartenant au dictionnaire français :

  • Suite : Ensemble de personnes ou de choses qui se suivent ; succession : La rue est bordée d’une suite de grands hôtels.
  • Terme : Lieu, point où se termine un déplacement dans l’espace ; moment où prend fin dans le temps une action, un état : Notre voyage touche à son terme. Arriver au terme de sa vie.

En acceptant l’idée qu’étant au pays des mathématiques, un terme est un nombre et,  une suite numérique,   une ensemble de nombres, je peux accepter qu’une suite de termes mathématiques c’est quelque chose comme, par exemple,  représenter une suite de nombres impairs.

 
       \begin{tabular}{c}        \Ovalbox{ \def\arraystretch{0.2}             $\begin{array}{c} 	        \underbrace{ 		     \begin{array}{*{7}{c}l} 		     1, & 3, & 5, & 7, & 9, & 11, & 13, & \ldots &  \\ \downarrow  & \downarrow  & \downarrow  & \downarrow  & \downarrow  & \downarrow  & \downarrow  & & \\ 		     U_0,  & U_1,  & U_2,  & U_3,  & U_4,  & U_5, & U_6,  & \textrm {est ainsi de suite}    \\ 	     \end{array}} \end{array}$ \\ 	     Les  premiers  termes de la suite des nombres impairs} \\ est arithmétique de raison 2 \\  	    }\\ \\     Tout l'ensemble constitue la suite $\mathbf{\Big\left(U_n\Big\right)}$ \\     \end{tabular}             
Je vois, je vois. En revanche,  là, avec ces \pmb{U_n} et \pmb{\Big\left(U_n\Big\right)}, la difficulté s’accroît. J’ai bien conscience de percevoir, mais guère plus. J’ai le même sentiment que lors de mon voyage en Angleterre. Chercher une pharmacie était un vrai casse-tête, l’enseigne en Angleterre ne ressemble pas cette utilisée en France :
Comprendre ce qui se dit en mathématiques, c’est comme lire ou entendre une langue étrangère. On n’est pas en pays de connaissance !
J’ai admis,  presque facilement, et donc, non seulement je sais maintenant, que le \pmb{{\;}_n} de \pmb{U_n} ést l’indice, le numéro, quoi, qui indiquait le rang de l’élément dans la liste, mais, qui plus est, je sais que je le sais, j’ai conscience de le savoir.
 
En revanche il m’a fallu un peu de temps pour comprendre que les parenthèses de l’écriture \pmb{\mathbf{\Big\left(U_n\Big\right)}} indiquait que l’on prenait en considération l’ensemble \left\{1,  3,  5,  7,  9,  11,  13,  \ldots \right\} à la différence de  U_n, sans parenthèse, qui désigne le nième élément de la liste : U_3 = 5.
 
J’en ai parlé à Éthan qui, cette année,  est en terminale. Éthan m’a montré cette petite vidéo : 



Si je comprends bien, dans la suite \mathbf{\Big\left(U_n\Big\right)}  des nombres impairs, U_n représente l’idée d’élément, tandis que U_3 désigne un terme précis : « 5 », et puisque c’est la « même chose », on peut écrire U_3 = 5. Il y a de l’idée, là-dedans ! Me voilà équipée pour appréhender la suite. Et « appréhender », c’est le mot, parce que c’est un mot bien équivoque disant à la fois saisir et redouter.

Plus sérieusement, pour trouver le nombre de paquets de l’exercice concernant la boîte d’allumettes, je vais utiliser les méthodes apprises au collège :

  1. Comprendre les mots et l’énoncé ;
  2. Déterminer et nommer « x » ce que l’on cherche, l’inconnue  ;
  3. Écrire l’équation ;
  4. Relire l’énoncé ;
  5. Résoudre.

 

Pour la première étape, il me semble que le texte est clair. Ce n’est  ni  du chinois ni une langue ancienne.
Pour la deuxième, disons que x est le nombre de paquets.
Et maintenant ? Comment écrire une équation qui traduit  l’énoncé ? \underbrace{ 1 + 3 +  5 + 7+  \ldots }_{\textrm {x paquets }} remplient la boîte, non ?
Je relis. Ah ! Mais, j’ai oublié les quatre allumettes restantes.
Donc, je rectifie :   \underbrace{ 1 + 3 +  5 + 7+  \ldots }_{\textrm {x paquets }} + 4 remplient la boîte.
Il me semble que si je connaissais le nombre d’allumettes qu’il y a dans la boîte … Ah ! Oui. 200.
Donc  \underbrace{ 1 + 3 +  5 + 7+  \ldots }_{\textrm {x paquets }} = 200 - 4 = 196.

Je pourrais additionner 1 + 3 +  5 + 7+... jusqu’à trouver 196, mais je crains que ce soit long et fastidieux ; et puis, si la boîte en comptait 10000 cela deviendrait irréalisable.   Je pourrais utiliser un tableur, mais ce n’est certainement pas l’outil que le prof attend pour cet exercice. Je décide donc de considérer ce travail comme une énigme à résoudre, une mini enquête policière.

Nous avons un avis de recherche pour un nombre de paquets. Les témoins sont : le total identifié par 200 et le reste 4. Faute d’avoir l’identité du suspect, nommons le n plutôt que x, parce que n est non seulement réel, mais il est aussi entier.  Et oui ! C’est la tradition.

 

Maintenant il nous faut utiliser ces nouveaux signes pour résoudre cette énigme :

Notre prof nous a appris à écrire les suites soit  par une expression explicite ou bien par une formule, dit de récurrence, qui indique comment trouver le successeur d’un terme : après U_3 vient U_4, le suivant de  « 5 » c’est « 7 ». Ce qui m’aide à discerner dans l’énoncé les mots significatifs de la suite numérique, de ses composants : indices (\pmb{n}), terme (\pmb{U_n}), raison (\pmb{r}), terme initial (\pmb{U_0}) et définition explicite, c’est à dire  ce qui caractérise la suite numérique.

J’ai donc pensé  à partir de l’observation des premiers termes de la suite : \left\{\begin{array}{rcl} u_n &=& u_0 + n \times 2\\ \text{Avec} \quad u_0 &=& 1 \end{array}\right.

Appeler cette écriture « explicite » ! Il faut le faire ! Bon, d’accord, si on me dit quel est le rang n, je peux trouver l’élément, ou plutôt, sa valeur. Par exemple, si n=6 alors U_6 = 1 + 6 \times 2 = 13. Mais reste à comprendre, ou plus exactement à l’utiliser pour m’en servir. À quoi bon savoir si l’on ne peux rien faire et je voudrais bien que  ma matière grise, dans sa boîte en calcium, ne soit pas utile seulement pour penser, mais aussi pour agir.

Mais là, trouvez-vous le terme  caché de cette suite : vu ? C’est le monde à l’envers !

 

En ce qui concerne les suites mathématiques, il faut se faire à l’idée que, souvent, le premier élément s’appelle U_0.

 

Cette intrigue se déroule parmi les nombres impairs, c’est-à-dire le nombre pairs + 1.

Traduit  en langue mathématiques.

\underbrace{200}_{\textrm{total}}   = \underbrace{1 + 2 + 3 + ... U_n \qquad + 4 }_{\textrm{on vide la boîte}} avec \underbrace{ n \in \mathbb{N}}_{\textrm{Un nombre entier de paquets}} et \underbrace{U_n = 1 + n \times 2}_{\textrm{Une suite de nombres impairs}}.

 

Espérons faire mentir l’adage « traduttore, traditore »,  et ne pas trahir le texte avec cette traduction mot-à-mot. Et pourtant, malgré cette reconstitution, l’insaisissable fuyard n’est pas encore démasqué.

Interroger le témoin U_n, encore muet,   nous aiderait sans doute à identifier notre suspect. Malheureusement les deux compères U_n et n semblent complices U_n est lié à n puisque pour U_n peut nous livrer n qu’à la condition que  nous connaissions n. Je me sens dépaysée et confrontée à une langue dont le sens de certains mots ou expressions se dérobent.

Je décide de reprendre  mes notes de cours et je déniche une formule qui à un air de ressemblance avec cette fiction aux allumettes :

\fbox{U_0 + U_1 + \ldots + U_n = n \times \dfrac{U_0 + U_{n -1}}{2}}

Il est bien difficile de se rendre sur le  terrain de la réalité puisque nous ne disposons que du texte et   aucun auteur à interroger.
Essayons de réaliser  par un dessin ; et puisque l’époque s’y prête, voyons un dessin animé : Si je mets côte à côte des petits tas d’allumettes comme dans ce récit, je vois que les petits tas augmentent de taille à raison de 2 allumettes supplémentaires à chaque paquet et que cela forme une sorte d’escalier, de triangle dont le nombre  d’allumettes qu’il contient est comme l’aire de ce triangle, c’est à dire la moitié de l’aire du rectangle qui à pour largeur le nombre de paquets n et pour longueur (hauteur)  le paquet U_n. Donc, puisque le nombre total d’allumettes dans les n paquets est : 200 -4 = 196 le double (c’est-à-dire l’aire du rectangle) est 2 \times 196 = 392
Il y aura donc n paquet de 1 + U_n colonnes.n   \left(1+(1+2 \times (n -1))\right) = 392

 

Ce qui saute aux yeux, c’est que maintenant plus rien ne fait obstacle, je  sais pouvoir répondre très prochainement. Je suis parvenue à résoudre une équation comme celle de l’année dernière  ne contenant qu’une inconnue (n) au moyen d’une  égalité.

n  \times \left(1 +\left(1 + 2 \times \left(n -1\right)\right)\right) = 392
n  \times \left(1 +\left(1 + 2 n - 2\right)\right) = 392
n  \times \left(2 n \right) = 392
2 n^2= 392

Et enfin  n  = \sqrt{\dfrac{392}{2}} = 14 Il y aurait donc 14 paquets totalisant 196 allumettes et 4 de reste pour remplir la boîte.

Vérifions :

14 \times \dfrac{1 + \overbrace{(1 + 2 \times ( 14 -1) ) }^{{U_n}}}{2} = 196

Quand je relis ce nouveau blog de l’année, je me dis qu’il me faut noter pour le TPE l’utilité de chercher dans d’autres textes, d’autres passages parallèles pour éclaircir une ZDPT (Zone De Prise de Tête).

 

1.- La simple « représentation » : « Je vois, je vois ! »
2.- La représentation avec conscience, qui est perception : « Vu ! Ah. Oui, je vois »

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3.- Le « savoir » : « Attendez, je vais essayer de le refaire, pour voir »
4.- « connaître » (savoir avec conscience) : « Je l’ai déjà refait, je sais que je peux recommencer »
5.- « entendre », c’est-à-dire concevoir ou connaître par l’entendement au moyen de concepts : Le théorème de Pythagore, par exemple.
6.« discerner » qui est connaissance par la raison Une configuration de Thalès, et la même en papillon
7.- « comprendre » qui est une connaissance a priori par la raison, et cela « de façon suffisante à nos fins » Ex démonstration du théorème de Pythagore.

Ma carte s’augmente de l’utilité de faire un dessin pour rendre présent à l’esprit et trouver des idées utiles à l’élucidation.


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