04. En suite, refléter, matérialiser

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Mise à jour 2022-05-05 par Mathilde Ohm
05. Exo Racines
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Octobre (semaine 40)
Je me suis promise d’apprendre les définitions des termes mathématiques de mon cours avec l’espoir de savoir de quoi on parle.
Hier j’ai dit devant Papa « Je ne comprends pas ! » et, lui, d’ajouter « Encore ! » ce qui aurait pu passer pour un reproche, mais qu’il s’est empressé de transformer en encouragement en reformulant : « Tu ne comprends pas encore, mais tu ça ne va pas tarder. Accroche-toi ». En effet, c’est lorsque je ne comprends pas que me vient l’envie de comprendre.  Et il est facile de constater que les cours nous apprennent comment percevoir et résoudre des problèmes vénérables.

Cette semaine, ce qui me tarabuste, ce sont les sens multiples et la diversité des expressions d’un même sujet.
Nous avons commencé l’étude du trinôme du second degré : La forme canonique, la factorisation et le réputé discriminant \Delta = b^2 -4ac, tout y passe ! Il y a même un autre nom pour ce sujet : La parabole. Ce doit être un sujet important parce qu’on en parle en physique, en français et en mathématiques. Le second degré, ici, ce n’est pas de l’humour et franchement je ne vois pas pourquoi le même nom parabole est le nom d’une forme physique et une figure de rhétorique.

Je suis intriguée aussi par l’utilisation du terme de « forme canonique » pour caractériser l’expression

f(x) = a \left[\left( x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac {b^2 -4ac}{4a^2}\right]
Ce n’est tout de même pas parce que le boulet décrit une parabole !
Il semble bien  que ce soit plus proche de l’idée d’une forme de la langue qui répond aux normes les plus habituelles de la grammaire.
Si j’ai bien compris, sont canoniques certaines notions traditionnellement estimées fondatrices.
J’y rangerais bien le théorème de Pythagore, celui de Thalès.
Il semble que P’ti Roy  soit intarissable sur le sujet et que je ne suis pas prête d’en voir la fin. Je lis dans mon cours tellement d’expressions différentes pour dire la parabole ; on dirait qu’il y a trente-six façons d’écrire la parabole, appelée aussi trinôme du second degré.

    \[ f(x) = ax^2 + bx +c \]

    \[ f(x) = a (x -x_1) (x - x_2) \]

Si S = x_1 + x_2 et P = x_1 \times x_2 alors x² - Sx + P = 0
Alors pourquoi une forme canonique f(x) = a \left[\left( x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac {b^2 -4ac}{4a^2}\right] plutôt qu’une autre.

Cette semaine,  le prof nous a soumis un petit exercice :   \sqrt{x (x-3)}  = \sqrt{3x -5}, expression pour laquelle on cherche la (ou les) valeur(s) de x qui vérifie(nt) l’égalité.  Quand je  relis ce travail que j’ai placé page suivante, je vois comme il est facile de se laisser tromper par une lecture rapide : après avoir élevé au carré les deux membres de l’égalité, on résout un trinôme du second degré dont le discriminant est strictement positif ;  il y a donc deux solutions x=1 ou x=5.

Mais, là, patatras.  Il convenait  de limiter le domaine de définition à \mathcal{D} = [3, \infty [, \forall x \in \mathcal{D} La  réponse x = 1 est une solution qu’on ne peut pas accepter parce   \sqrt{x (x-3)} et \sqrt{3x -5} avec x = 1  sont égaux entre eux et égalent  \sqrt{-2} et donc n’ont pas d’existence réelle. Lorsque les calculs sont embrouillés (par des expressions longues, par exemple) le domaine de définition ne devient explicite qu’au moment de la synthèse. La question sous-jacente est donc celle des implications et c’est là que la question « Pourquoi écrire \forall x \in, puisqu’il n’y a qu’une réponse ? » montre sa pertinence. L’expression \textcolor{red}{\forall x \in \mathbb{R}} se comprend quand on la rapporte aux implications, aux relations et non pas aux solutions !
Au total, comprendre ne suffit pas, en plus il me faut me conformer au style du prof et aussi m’assurer de l’efficacité à toute épreuve de mon résultat !

L’exercice supposait avoir bien intégré la définition des nombres réels. Et je pense avoir bien compris le cours de seconde concernant les ensembles.

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En fait, cela n’est pas si évident. Savoir placer un nombre dans le bon ensemble ne suffit pas. Encore faut-il,  le cas échéant,  penser à vérifier que la solution trouvée soit dans le bon ensemble. Pour le dire autrement, connaître le sens d’un mot c’est savoir s’en servir. La signification des l’adjectifs « entier », « naturel », « relatif » … consiste aussi à définir la signification par l’usage, par les procédures qu’ils mettent en jeu.

Cela s’illustre encore dans mon interrogation de cours :

Cette discussion avec moi-même commence souvent   avec mes remarques, mes observations et même les corrections de mes erreurs. Et j’ai observé que si, plutôt que de les garder pour moi, je les confronte avec Papa, avec Mr Narthex ou P’ti Roi, cela se simplifie. C’est dire l’importance d’en faire part. Tout cela ne tombe pas sous le sens — n’est pas évident — et ne va pas sans dire ! — et mérite d’y réfléchir. Je me félicite encore de profiter de  l’occasion de préciser mes idées.

Et pour en dire un peu plus :

Penser n’est pas sortir de la caverne,
ni remplacer l’incertitude des ombres par les contours tranchés des choses mêmes,
la lueur vacillante d’une flamme par la lumière du vrai Soleil.
C’est entrer dans le labyrinthe, plus exactement faire être et apparaître un Labyrinthe
alors que l’on aurait pu rester « étendu parmi les fleurs, faisant face au ciel ».
C’est se perdre dans des galeries qui n’existent que parce que nous les creusons inlassablement,
tourner en rond au fond d’un cul-de-sac dont l’accès s’est refermé derrière nos pas –
jusqu’à ce que cette rotation ouvre, inexplicablement, des fissures praticables dans la paroi.

Castoriadis (C.), Les carrefours du labyrinthe, I, Seuil, Paris, 1998, p. 6.

Ainsi, j’ai observé que  le sens du mot que j’ai commencé à lire est anticipé dès les premières lettres de celui-ci, ou que le sens de la phrase s’installe dès la lecture de ses premiers mots, chaque anticipation étant susceptible d’être corrigée  au fur et à mesure de la progression de ma lecture. Est-ce un  frein à la compréhension ?
On dirait que je passe mon temps à passer des détails à l’idée générale.  « Agir localement, penser globalement » ai-je lu sur un trac écologique. J’ai l’impression d’être pleine de préjugés : « Les opposés des opposés sont des opposés », ou : « ce qui appartient à la partie appartient au tout » ? Mais, ces préjugés peuvent-ils inclure aussi des jugements de valeurs, donc des comparaisons comme « une chose bonne, c’est adopter un bien plus grand au lieu d’un moindre bien et, entre deux maux, de choisir le moindre » ?   Je lis, j’écoute, je regarde avec mes préjugés. J’invente l’histoire. Est-ce possible en math ? Souvent, je cherche à imaginer le cours de math avant de m’y rendre, avant que P’ti Roi capte toute mon attention. Quel écart entre ce qu’il énonce et mes prévisions !

Dans les exercices aussi j’ai des préjugés. Le dernier en date :

Ce n’est pas la première fois que je remarque qu’une erreur me donne l’occasion de réviser ou de corriger une notion ou une idée que je croyais bien apprise. De même, les remarques du prof, souvent écrites en rouge, sur mon dst sont des moments  de réflexions fructueuses. C’est rageant de constater perdre des points à une question et de penser avoir donné la bonne réponse. À première vue, j’ai bon. Qu’est-ce qui ne va pas dans ma réponse  ?

Si je regarde mon cours sur mathenpoche.sesamath.net je vois :En vérifiant, je découvre que le prof attendait :

La somme S_n des n premiers termes d’une suite géométrique, de premier terme \pmb{a} et de raison q avec q \neq 1 et q \neq 0, est donnée par la formule :
\displaystyle S_n = \pmb{a} + \pmb{a} \times q +\pmb{a} \times q^2 + \pmb{a} \times q^3 + . . . + \pmb{a}\times q^n = \pmb{a} \times \dfrac{1-q^n}{1-q}.

Il n’y a pas beaucoup de différence et je continue de penser que ma réponse est  sans erreur. D’ailleurs, la correction en rouge dit que je n’ai pas répondu à la question, pas que j’ai écrit une erreur. En fait,  dans ma précipitation, j’ ai bien observé que la suite était géométrique,  donc de raison q, en revanche j’ai ignoré que le premier terme était \pmb{a} et non \pmb{1}. Donc, oui, je n’ai pas répondu à la question.
J’étais, sans doute, trop confiante dans ma connaissance du cours et j’ai manqué de vigilance, j’aurais du douter de ma lecture de l’énoncé.
Avant de se lancer dans un calcul, la prudence invite à tourner sept fois ses yeux entre les lignes de la question afin de (se) préciser l’objet recherché.
« La somme des premiers termes » contient-elle le nombre « 1 » ?
La question concernait les premiers termes et non pas les premières puissances. Tout est dans la nuance.Ce serait encore se méprendre que de se dévaloriser, de se reprocher de ne rien comprendre.  Ma méprise et la correction me semblent évidentes lorsque je lis la remarque soigneusement et que je réalise ma confusion. Qui plus est,  ma note est au-dessus de la moyenne et si je  souhaite encore progresser, il  me  faut  examiner les détails.Un peu plus loin, dans ma copie, le signe d’équivalence est  barré puis  remplacé par le digne égal.Il m’a fallu un peu de temps pour distinguer les signes \pmb {\Longleftrightarrow} et  \displaystyle \pmb {=} ; pourquoi l’un plutôt que l’autre ? Un billet de 5€ n’est-il pas équivalent à 5 pièces de 1€ ? J’ai fini par comprendre la nuance : sont égales (en algèbre)  des valeurs identiques 5 \times 2 = 2 \times 5 = 10 tandis que sont équivalentes (en  logique)  des propriétés, des propositions qui s’impliquent mutuellement ainsi  : Des équations sont dites équivalentes  si elles ont le même ensemble de solutions.
(x+5) (x-3) = 0 et x^2 +1x = 15  sont deux équations équivalentes.
En effet : leur ensemble de solutions est l’ensemble constitué des nombres -5 et 3.
Ceux qui parlent ne savent pas est équivalente à l’affirmation Ceux qui savent ne parlent pas
« Si n est un multiple de 9, alors n n’est pas premier » équivalent de « Si n est premier, alors n n’est pas un multiple de 9 ».
Comprendre c’est comprendre autrement, c’est pourquoi je m’efforce de  dire : « autrement dit ». Et, sans doute, je  réalise quelque chose, en disant spontanément :  « Ah oui, je n’avais pas compris cela comme ça ! ».

J’ai perdu des points ici :parce que la ligne : (Pour tout x appartenant à \mathbb{R} ) est absente de ma réponse. Dieu merci, je n’ai  pas eu la réaction de l’adolescente en crise d’opposition juvénile : C’est pas juste, j’ai bon. C’est qu’une question de forme ! Faut que j’aille vite pour avoir le temps de tout faire … S’agit-il d’une règle typographique ? En cherchant sur internet, je trouve :

Quantificateurs : Les quantificateurs universel \pmb {\forall} et existentiel \pmb {\exists} doivent être utilisés en début d’assertion pour décrire les propriétés qu’ils accompagnent, séparés par une virgule :

    \[\forall x \in \mathbb{R}, e^x \in \mathbb{R}^*¨+. \qquad \qquad f \not = \underline{0} \Longleftrightarrow \exists x , f(x) \not = 0.\]

Non. Ce n’est pas la correction de mon erreur, puisqu’absent, les quantificateurs  n’étaient pas mal positionnés.  ! En revanche, voilà ma question je pensais  : Je ne peux pas mettre pour tout x puisqu’il n’y a qu’un x qui marche ! Essayons d’approfondir ce sujet. Pour commencer je voudrais souligner l’importance de ma remarque, d’avoir dit à haute voix une pensée qui passait par là.
Considérer cet aparté comme un détail aurait été préjudiciable. En effet, parce qu’en premier lieu la remarque est pertinente, et, en second, parce qu’elle dénote une croyance, la croyance que x fait référence exclusivement à la solution, sans considérer que la solution est la valeur de x qui confère à l’équation le statut de vérité (de validité). Pour les autres valeurs de x l’équation n’est pas vérifiée, vulgairement on la dit fausse. (Reconsidère ). Mais alors,  si x ne réfère pas la solution, pas seulement la solution, à quoi fait-il référence ? J’ai déjà discuté une idée semblable en cours de français :
Si quelqu’un dit : « Cet oiseau doit être un migrateur », son interlocuteur ne comprend ce qu’il dit s’il n’identifie pas l’oiseau par un acte de mémorisation, c’est-à-dire qu’ils devraient se souvenir tous les deux de l’oiseau. Tant que celui qui écoute ne se souvient pas effectivement, il ne comprends pas de quel oiseau il est question. Si le premier précise « L’oiseau avec le bec rouge », l’interlocuteur pensera sans doute aux plocéidés, mais ne saura pas lequel parmi les 15 genres et 117 espèces, tant que le premier n’aura pas précisé davantage au moyen, par exemple, d’une photo. Comment alors comprendre la nécessité de la phrase \textcolor{red}{\forall x \in \mathbb{R}} (Pour tout x appartenant à \mathbb{R}) ? Est-ce que x fait toujours référence aux réels ? Parfois on écrit \forall n \in \mathbb{N}. Dans ce cas, cela semble clair. Cette fois, on se contente des entiers naturels.
Alors, y-a-t-il parfois une ambiguïté ? Est-il vraiment nécessaire d’être plus loquace et plus précis ?

Mon père dit « Méfie-toi de ne pas te perdre dans les détails, ne jette pas le bébé avec l’eau du bain. ». Comment mettre de l’ordre dans tout ce fatras ? Que retenir de ces quelques exercices ?

Au total, cette semaine, et plus spécialement cet exercice, m’a rappelé l’utilité du doute, et la nécessité d’en revenir aux textes, que ce soit Pythagore, Thalès, comme au collège, ou les formules de calcul, cette fois c’était la somme des termes. Je complète donc ma carte pour mémoriser tout cela.


04. En suite, refléter, matérialiser
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