07. Sachant que…

Exo Racines


Mise à jour 2023-11-17 par Mathilde Ohm
20. Création d’un mythe fondateur
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Ce matin, nous avons été confrontés à une question qui, au premier regard, semblait du niveau du collège. Il s’agit de calculer la longueur et la largeur d’un rectangle connaissant le périmètre et l’aire de ce  rectangle.

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Avant de résoudre le problème, nous avons été invités à utiliser l’exerciseur ci-contre. En effet, om s’agit de trouver les dimensions de ce quadrilatère en connaissant leur somme (demi-périmètre) et leur produit (l’aire) 

Au début, on peut s’aventurer à réponse sans difficulté, puis un papier et un crayon deviennent utiles, par la suite, il m’a fallu se creuser un peu la cervelle.


   \sqrt{x (x-3)}  = \sqrt{3x -5}, Déterminer  la (ou les) valeur(s) de x qui vérifie(nt) l’égalité.

  • Analyse du problème :
    Puisque pour tout couple de réels positifs (a, b) \in \mathbb{R}_+^2, on a l’équivalence  \sqrt{a} \leq \sqrt{b} \Longleftrightarrow    a  \leq  b

    si x est un réel tel que \sqrt{x (x-3)}  = \sqrt{3x -5} ; alors, en élevant au carré :
    x (x-3)  = 3x -5 soit x^2 -6x +5 = 0

    Inutile de faire des calculs compliqués, comme la recherche du discriminant, cela risque d’induire des erreurs de calculs et de dissuader de poursuivre. Il y a des racines évidentes puisque « a + b + c = 0 » ( encore :  faut-il y  penser ! )

    \textcolor{red}{1} x^2 \textcolor{red}{-6}x \textcolor{red}{+5}  = 0 \textcolor{red}{a} x^2 \textcolor{red}{+b}x \textcolor{red}{+c}  = 0

    Les réels x vérifiant cette relation sont 1 et 5.
    Nous avons donc démontré que : « Si x est solution de l’équation x (x-2) = 3x -5 »  alors x = 1 ou x = 5.    « équation x (x-2) = 3x -5 » dénote (précise) que ce n’est pas l’équation initiale ! Le terme équation seul serait ambigu et laisserait supposer que les solutions conviendraient pour la première équation.
    Je l’avais pressenti puisque je me disais « Je ne sais pas résoudre les égalités avec des racines. ».

  • Reprenons, nous n’avons pas démontré que les solutions du problème sont 1 et 5, mais uniquement qu’elles ne peuvent valoir autre chose. Il faut désormais tester chacune d’elles pour voir si elles conviennent effectivement : c’est l’objet de la synthèse.
  • Synthèse  : on remplace successivement x par 5 puis par 1 dans l’équation initiale, les calculs étant sans difficulté.
    Il est facile de vérifier que 5 est bien solution. En revanche, pour x = 1, l’équation semble n’avoir pas de sens : elle fait intervenir des racines carrées de nombres négatifs. Ainsi 1 n’est pas une solution.
  • Conclusion : 5 est l’unique réel qui vérifie l’équation \sqrt{x (x-3)}  = \sqrt{3x -5}

J’ai mis à profit mes remarques de la semaine dernière et j’ai cherché une représentation graphique de cet exercice cat il est tout de même envisageable d’avoir une idée de ces 2 équations et comment elles se distinguent :Visiblement x(x - 3) s’annule pour x = 0 et x = 3 et  pour les valeurs de x \in ] 0 ; 3[ le produit x (x - 3) est négatif.
y = 3x -5 est une fonction affine croissante et positive pour x \gt \dfrac{3} {5}.
Il convient donc de limiter le domaine de définition à \mathcal{D} = [3, \infty [, \forall x in \mathcal{D} L’autre réponse x = 1 est une solution qu’on ne peut pas imaginer parmi les réels. Lorsque les calculs sont embrouillés (par des expressions longues, par exemple) le domaine de définition ne devient explicite qu’au moment de la synthèse. La question sous-jacente est donc celle des implications et c’est là que ma question « Pourquoi écrire \forall x \in, puisqu’il n’y a qu’une réponse ? » montre sa pertinence. L’expression \textcolor{red}{\forall x \in \mathbb{R}} se comprend quand on la rapporte aux implications, aux relations et non pas aux solutions ! Cela s’illustre encore dans mon interrogation de cours.

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