[latexpage]

[shortcode-variables slug= « debut  » titre= « Le bon sens des mots  » contenu= « Mathilde observe que l’incompréhension est à l’origine de son désir de comprendre » gauche= « 5cm  » droite= « 5cm « ]

Septembre (semaine 38)

J’entends souvent utiliser cette expression toute faite : « Les mots ont un sens ». Mais qu’est-ca que cela veut dire ? Est-ce que les mots ont une idée derrière la tête ? Papa aime bien plaisanter en disant que les mots circulent  en  sens unique.

Cette phrase, « Les mots ont un sens ». est-elle vide de sens, ou est-ce une évidence qui tombe sous le sens ? Un truisme diraient les cuistres.

En classe de français nous avons passé une bonne heure à commenter la phrase : La fleur des pois rigide et chaude plaint et soulage l’amnésie fine. (Collectif, « Le cadavre exquis »)  André Breton dans le Dictionnaire abrégé du surréalisme propose ce  « jeu de papier plié qui consiste à faire composer une phrase ou un dessin par plusieurs personnes, sans qu’aucune d’elles puisse tenir compte  des collaborations précédentes » ; cela conduit à construire, la plupart du temps, des  phrases insensées.  Conclusion : Empiler les mots  ne font pas une pensée, tout au plus une phrase bien formée. Au premier regard, les énoncés mathématiques semblent un cadavre exquis  de mots et de chiffres ; pourtant, tout porte à croire que ce n’est pas vide de sens, et je veux comprendre.
Pour commencer, si les mots ont un sens, encore faut-il connaître le sens des mots. En mathématiques, l’opinion répandue, et même la volonté affirmée, c’est que les mots ont un sens et un seul, et pourtant  :

au cp, 3 c’est trois, comme trois pommes et en seconde, 5 est l’adjectif cardinal qui dénombre l’ensemble contenant 5 éléments ;  la multiplication de l’école primaire  $2 imes5 = 10 $ (deux fois cinq font dix) égale $5 imes2$ (le produit de 5 et de 2 égale 10 ) au collège et cependant,  ne représentent pas la mème idée à gauche et à droite.
C’est la même valeur en Euro, soit,  mais ce n’est la même chose matériellement.

Bon, les euros ne sont pas vraiment des maths. mais les mots « deux », « fois » « cinq », eux en sont  ! Et puis l’année dernière nous avons parlé de « fonction » et je me demande bien à quoi il est fait référence. Je peux comprendre que « trois » soit un adjectif numéral cardinal  et qu’il ne désigne  pas plus un objet matériel que le mot « blanche » dans le phrase « La neige est blanche » ; mais « fonction » « suite », comme ces mots en ce début d’année, ne sont pas des adjectifs, ce sont bien des noms communs. Des noms de quelque chose. À quoi font-ils référence ?
En français, il est aisé de savoir ce que signifie l’énoncé  « Le président de la République ». Nous avons tous en tête une représentation associée à cette expression bien que cela dépende du contexte, puisqu’en 1981, le président de la République était François Mitterrand, alors qu’en 2012 c’était François Hollande.

En mathématiques, à quoi pense P’ti Roi en disant  « Soit la suite arithmétique $left(u_n
ight)_{n in marhbb{N}}$ la suite définie par : »

[; ; ; egin{cases}
u_0 = 1 \
orall n in marhbb{N}, u_{n+1} = u_n + 2 \
end{cases} ]
En revanche, pour moi, cela reste bien flou. Pour préciser à quoi se réfère le suite $(u_n)$, il faut faire appel à d’autres mots $ u_{n+1} = u_n + 2ldots $ et nécessite non seulement de comprendre à quoi chaque mot fait référence mais aussi leur assemblage. De plus, je ne vois pas vraiment comment associer $(u_n)$ à quelque chose du monde réel, ni objet, ni propriété.
Si je me contente d’associer aux mots ce qu’ils représentent pour moi, je n’arriverai pas à expliquer comment les mots s’associent entre eux pour représenter des choses complexes. La fonction des mots à donc aussi son importance.
Alors, est-ce que les suites, les équations et les fonctions ne sont que des mots qui n’existent que par l’usage pratiqué en cours de math ?
Quoi qu’il en soit, il me faut connaître leur définition, parce que le vocabulaire paraît scrupuleusement défini et chaque chose semble associée à un mot unique. Est-ce si rigoureux ? Est-ce que cette association mot-chose fonctionne dans les deux sens, est-ce bijectif,  comme dit P’ti Roi  ? Qu’en est-il pour les élèves bilingues ? Comment cela se passe-t-il quand on passe une frontière ? Pour ma part, je peine à calculer dans une autre langue que le français.

Je me souviens, il y a deux ans, Boris, un élève de 3$^{e}$,  avait  eu  une nouvelle trousse achetée sur internet. Il était  très content d’y trouver un résumé des calculs de géométrie. Pourtant le petit guide d’accompagnement donnait des indications différentes de cette de notre prof de math.

Boris a demandé à  Monsieur Bozon, notre prof du collège : « Monsieur, dans mon résumé votre carré s’appelle Place et je ne comprends pas ce qu’est le Champ d’application. »
Après avoir examiné en détail le papier mal imprimé que j’ai reproduit ici à gauche, Monsieur Bozon a beaucoup rit. Puis il a expliqué à Boris qu’il s’agissait d’une traduction approximative. Sans doute faite avec  Google Traduction. Il nous a proposé d’aller en parler avec notre professeur d’anglais.
En effet, si l’on cherche le mot « square » l’une des propositions est « place » et  pour « perimeter »  on lui trouve un voisin « scope » qui est proche de l’expression « champ d’application » d’une règle de droit. Traduire c’est parfois trahir, ajouta-t-il, méfiez-vous du Globish.

Cela me rappelle un mauvais souvenir : une fête foraine s’était installée sur la place. J’ai tenté ma chance dans une loterie. Gagné ! Je déroule la petite bande de papier bleue et je lis camera. Qu’est-ce que j’étais contente ; une caméra à douze ans. Déception : le forain échange mon précieux coupon  contre un vulgaire  appareil photo en plastique dont l’emballage m’instruisait que  le mot  « camera » en italien signifie « appareil photo ». tradurre è tradire. Traduire c’est trahir. 

Il est vrai que même en français, j’ai parfois des difficultés à traduire et à associer le vocabulaire des énoncés mathématiques avec ce dont ils parlent.. L’année dernière, en seconde, j’ai eu à répondre à cet exercice (j’ai placé mon travail dans la page suivante)

Énoncé

Définition : deux rectangles sont de même forme lorsque les rapports longueur/largeur sont égaux. (C’est le cas entre un négatif de $24 imes  36 $ et une photo sur papier photo $10 imes  15$  car on a : $dfrac{36}{24} = dfrac{15}{10}$.

Une feuille de format $A0$  a une aire de $1m^2$  exactement.

Lorsque l’on coupe cette feuille au milieu de la longueur, on obtient deux feuilles de format $A1$. Lorsque l’on coupe une feuille de format $A1$ au milieu de la longueur, on obtient deux feuilles de format $A2$, et ainsi de suite (voir figure ci-contre).

[latex]
egin{tikzpicture}[y=0.80pt, x=0.80pt, xscale=0.5, yscale=-0.5, inner sep=0pt, outer sep=0pt, >=latex]
egin{scope}[on background layer]
ikzstyle{mine} = [fill, top color=gray!30, bottom color=white, shading=axis, shading angle=40] ;
draw [mine] (0.5, 0.5) rectangle (210,297) ;
draw [mine] (210, 0.5) rectangle (420,297) ;
draw [mine] (0.5, 297) rectangle (420,595) ;
draw [mine] (420, 595) rectangle (841.50,0.5) ;
draw [mine] (0.5, 595) rectangle (841.50,1190) ;
end{scope}
 % A0
draw [] (0.50,0.50) rectangle (841.50,1190) ;
draw [<->] (860,0.5) — (860.5,1190) node [midway] { colorbox{white}{white}{L}} ;
draw [<->] (0.50,1210) — (841.50,1210) node [midway] { colorbox{white}{white}{l}} ;
draw [] (-50, 0) — (0,0) — (0,-40) ;
draw [] (210, -40) — (210, 0.5) — (420,0.5) — (420, -40) ;
draw [<->, line width=1pt] (210, -20) — (420,-20) node [midway] { colorbox{white}{white}{f ?}} ;
draw [] (-50, 297.5) — (0,297.5) ;
draw [] (-50, 595) — (0,595) ;
draw [<->] (-20, 297.5) — (-20,595) node [midway] { colorbox{white}{white}{f ?}} ;

ode [scale=2] at (105, 148 ) {$pmb {A4}$} ;
ode [scale=2] at (315, 148 ) { $pmb {A4}$} ;

ode [scale=3] at (630, 297 ) {$pmb {A2}$} ;

ode [scale=2.5] at (210, 440 ) {$pmb {A3}$} ;

ode [scale=4.5] at (430, 890 ) {$pmb {A1}$} ;

ode[scale=7, black!60 ] at (433, 595 ) {$pmb {A0}$} ;

ode[scale=7, gray!60 ] at (430, 595 ) {$pmb {A0}$} ;
end{tikzpicture}
[/latex]

1. On note $L$ la longueur et $1$ la largeur du format $A0$, en mètre.Prouver que $l$ est l’inverse de $L$.
2. On note a le rapport des dimensions du format $A0$ :$a = dfrac{L}{l}$.
Exprimer $a$ en fonction de $L$.
3. On note $b$ le rapport des dimensions du format $A1$. Exprimer $b$ en fonction de $L$ puis en fonction de $a$.
4. Sachant que le rectangle de format $A1$ est de même forme que le rectangle de format $A0$ (voir définition ci-dessus), calculer la valeur exacte de $a$.
5. Déduire de la question précédente le calcul de $L$ (arrondir le résultat à $10^{-5}$ près). Calculer ensuite la largeur $l$. Quelles sont les dimensions du format $A0$ en cm ?
6. D’après le découpage ci-contre, quel est le nombre de feuilles $A4$ que l’on obtient dans une feuille de format $A0$ ? Calculer les dimensions d’une feuille de format $A4$ en cm à $1$ mm près.

Je me souviens avoir traité ce problème à l’aveuglette,  comme une somnambule, c’est-à-dire, de façon mécanique en suivant les étapes numérotées de 1 à 6. J’étais un peu perdue. J’avais l’impression de faire des calculs sans savoir de quoi je parlais.

C’est une histoire embrouillée comme les aime Lewis Caroll. Je trouve surprenant d’utiliser des lettres comme s’il s’agissait de nombre. Je me souvient d’une devinette :  « Je commence la nuit. Je finis le matin. Et j’arrive deux fois dans l’année. Qui suis-je ? ». Il m’a fallu un peu de temps pour porter mon attention sur l’écriture plutôt que sur l’évocation des éléments du temps. Oui, la première lette du mot nuit est  un « n » de même « n » est la dernière de matin et se trouve écrit en deux exemplaires dans le mot année . Cela dit, les lettres utilisées en mathématiques sont sensées être des nombres.
Elles me semblent être comme des pronoms personnels. Je, toi, nous, peuvent bien être beaucoup de personnes selon la situation. Pourtant ces pronoms désignent la plupart du temps une personne précise. De même $x, y, a, bldots$ sont-elles des nombres tantôt indicatifs ($x, y in mathmm{N}$) tantôt parfaitement définies $(2x = 10 Longrightarrow x=5)$.

Parfois, il me semble que ce que je pensais dire clairement ne soit pas validé par P’ti Roi ou même que cela ne se réalise pas comme prévu.
Je rêve d’une classe de mathématiques où je ne me sentirai pas menacée par l’incompréhension. Un pays de connaissance où il ne serait pas nécessaire d’être sur ses gardes. J’aspire à y être chez moi. Je voudrais trouver ma place, un point de vue duquel les cheminements seraient tout tracés. Pour l’instant, le monde mathématique me semble épais et plein d’étrangeté. Dans ce problème sur le papier $A0$ je ne voyais pas clairement le lien entre certains détails, comme les lettre $a, b$ et l’ensemble de l’énoncé. Il me faudrait une méthode pour comprendre. Mais là, il ne me suffit pas de vouloir comprendre pour comprendre.
S’il m’arrive, de  faire les choses sans comprendre, même assez fréquemment, s’il m’arrive même de dire « Bon ça va, j’ai compris », plutôt pour mettre un terme à la discussion, en mathématiques, cela ne devrait pas être possible. Je comprends ou je ne comprends pas, et quand je comprends c’est un vrai plaisir. En math peut-on dire je comprends presque  ?
Alors, qu’est-ce qui m’empêche de comprendre ?

De plus, ma difficulté semble impossible à expliquer  et je ne sais pas vraiment comment me faire comprendre. Et puis, est-il possible de tout comprendre ?
En tout cas, moi, je me comprends et je ne désespère pas de clarifier un peu cette histoire. Cela fait deux ou trois mille ans que des mathématiciens semblent s’y retrouver. Alors pourquoi pas moi ?

Qui plus est, en ce début d’année, la classe me semble bruyante et je peine à comprendre ce que dit le prof tout autant qu’il peine à se faire entendre. Il y a un brouhaha de fond, parfois même un petit événement qui vient rompre le déroulement de la réflexion : que ce soit  l’intervention du cpe, ou  plus souvent la chute d’un stylo ou le déplacement d’une chaise.
La difficulté que  j’aimerais bien surmonter,  c’est l’incompréhension immédiate des énoncés, pas seulement en raison des parasites sonores, mais surtout par le brouillage du message principal comme un os qui résiste à se laisser rompre.
J’ai le sentiment d’être dans un labyrinthe où chaque carrefour offre des chemins impossibles à choisir. De temps à autre j’entrevoie une petite lumière, un petit éclair de comprehension dans ce brouillard mêlé de bruit de fond. Je cherche une méthode pour m’y retrouver, et  les quatre étapes de la méthode de Polya que m’avait montrée Papa ne suffisent pas. Je me promets de faire mieux.

Je peux ajouter une nouvelle étape dans ma carte de mémorisation :  si lire aide à comprendre, et si lire c’est parvenir à comprendre, ne pas comprendre immédiatement me permet de constater mon désir de comprendre.


[shortcode-variables slug= »fin_de_page » contenu= »« La question de l’être en tant qu’être n’est pas la question de la philosophie parce qu’elle est celle des mathématiques et elle l’est en un sens radical : les mathématiques sont l’effectivité de cette question. C’est-à-dire à la fois le protocole de sa position et les opérateurs de sa solution. Et ceci, à mon avis, dès l’aube de la pensée grecque. » Alain Badiou, Parménide p17-18 Fayard, 2014″ gauche= »5cm » droite= »4cm » ]