02. Récapitulation

Le bon sens des mots


04. Et en suite ….
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Septembre (semaine 38)

Je me souviens, il y a deux ans,   Boris, un élève de 3^{me} avait  eu  une nouvelle trousse achetée sur internet. Il était  très content d’y trouver un résumé des calculs de géométrie. Pourtant ce petit guide donnait des indications différentes de cette de notre prof de math.

Boris  a demandé à  Monsieur Bozon :
« Monsieur, dans mon résumé votre « carré » s’appelle « Place » et je ne comprends pas ce qu’est le « Champ d’application ».
Après avoir examiné en détail le papier mal imprimé, Monsieur Bozon a beaucoup rit. Puis il a expliqué à Boris qu’il s’agissait d’une traduction approximative. Sans doute faite avec  Google Traduction. Il nous a proposé d’aller en parler avec notre professeur d’anglais.
En effet, si l’on cherche le mot « square » l’une des propositions est « place » et  pour « perimeter »  on lui trouve un voisin « scope » qui traduit en français.  Traduire c’est parfois trahir, ajouta-t-il, méfiez-vous du Globish.

Il est vrai que même en français, j’ai parfois des difficultés à traduire. Ainsi, l’année dernière, en seconde, j’ai eu à répondre à cet exercice :

Définition : deux rectangles sont de même forme lorsque les rapports longueur/largeur sont égaux. (C’est le cas entre un négatif de 24 \times  36 et une photo sur papier photo 10 \times  15  car on a : \dfrac{36}{24} = \dfrac{15}{10}.

Une feuille de format A0  a une aire de 1m^2  exactement.

Lorsque l’on coupe cette feuille au milieu de la longueur, on obtient deux feuilles de format A1. Lorsque l’on coupe une feuille de format A1 au milieu de la longueur, on obtient deux feuilles de format A2, et ainsi de suite (voir figure ci-contre).

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1. On note L la longueur et 1 la largeur du format A0, en mètre.Prouver que l est l’inverse de L.
2. On note a le rapport des dimensions du format A0 :a = \dfrac{L}{l}.
Exprimer a en fonction de L.
3. On note b le rapport des dimensions du format A1.Exprimer b en fonction de L puis en fonction de a.
4. Sachant que le rectangle de format A1 est de même forme que le rectangle de format A0 (voir définition ci-dessus), calculer la valeur exacte de a.
5. Déduire de la question précédente le calcul de L (arrondir le résultat à 10^{-5} près). Calculer ensuite la largeur l. Quelles sont les dimensions du format A0 en cm ?
6. D’après le découpage ci-contre, quel est le nombre de feuilles A4 que l’on obtient dans une feuille de format A0 ? Calculer les dimensions d’une feuille de format A4 en cm à 1 mm près.

Je me souviens avoir traité ce problème à l’aveuglette,  comme une somnambule, c’est-à-dire, de façon mécanique en suivant les étapes numérotées de 1 à 6. J’étais un peu perdue. J’avais l’impression faire des calculs sans savoir de quoi je parlais.

À la première question, les mots longueur et largeur me  semblaient familiers et pourtant je ne comprenais pas.   Comment la largeur pouvait-elle  être l’inverse de la longueur. J’ai demandé de l’aide à Monsieur Narthex par sms. Pour lui, cela était écrit dans l’énoncé, et il m’a poussée à relire jusqu’à déterminer l’aire de la feuille de format A0. C’est ainsi que j’ai fini par écrire un mètre carré est égal au produit de la largeur par la longueur : l \times L =1 comme au collège et ensuite d’écrire \dfrac{ l \times L}{L} = \dfrac{1}{L}, puisque je peux diviser chaque membre de l’égalité par le même nombre.  Ensuite  il est possible de  simplifier   \dfrac{ l \times \color{red}\cancel{\color{black}{L}}}{\color{red}\cancel{\color{black}{L}}} = \dfrac{1}{L} et de répondre \fbox{l = \dfrac{1}{L} }. Et après ?

La deuxième question me semblait tout aussi obscure : pourquoi,  diable, introduire la lettre « a = \dfrac{L}{l} », jusqu’à ce que je réalise pouvoir remplacer l, grâce  à la première question,   par \dfrac{1}{L} dans a = \dfrac{L}{\color{purple}{l}}  ce qui devient a = \dfrac{L}{\color{purple}{\frac{1}{L}}} et donc, puisque « pour diviser par une fraction, on multiplie paf l’inverse » on obtient \fbox{a = L^2}.

La troisième question semblait me faire tourner en rond, puisque après avoir calculer a en fonction de L à la question précédente, il me fallait maintenant calculer L en fonction de a. Mais là, surprise, si a = L^2, \qquad \lLongrightarrow L = \sqrt{a}, ce qui n’avance pas franchement à grand chose.
Monsieur Narthex m’a fait remarquer que j’avais omis de répondre à la première partie de cette troisième question : « On note b le rapport des dimensions du format A1.Exprimer b en fonction de L».
Je me suis résignée à écrire \dfrac{\mathrm{largeur}}{\mathrm{Longueur}} = \frac{a}{b}.

Ce à quoi, Monsieur Narthex m’a répondu :

Que sont ces a et b que tu mets dans ton égalité ? Ce serait bien que tu dises ce à quoi tu penses ? Il me semble que tu désignes des objets sans utiliser des mots qui « clarifient», qui « différencient » afin « d'élucider ».
Certains mots peuvent être amphibologiques, c’est-à-dire ambigus, propres à nous jeter dans la confusion. Ici ces mots sont : largeur, longueur…
Pour s’y retrouver, il convient d’être plus précis. Largeur DE QUOI ! Longueur DE QUOI ? Le brouillard devrait se lever 80)

. . . et, oui, le brouillard s’est dissipé quand j’ai compris que a est le double de b sur mon dessin, puisque la feuille est coupée en deux moitiés égales.

J’ai continué à tâtonner vers la sortie que j’espérai à la fin des calculs, jusqu’à établir un rapport égal à \sqrt{2}.

Cela illustre bien que le sens des ‘a’ et des ‘b’ sont déterminés par la définition que tu en donnes ET par l’usage que tu en fais. Il n’y a aucun lien directe entre ‘a’ et longueur. Pas plus qu’il y a un lien directe entre ‘chaise’ et l’objet où tu es posée. Relis Lewis Caroll : En effet, tu confonds a et b qui, dans l'énoncé, désignent des rapports avec les dimensions de la feuille. Si bien que tu sembles avoir trouvé la bonne valeur du rapport par un heureux hasard.
De plus cela ne répond pas à la dernière question Calculer les dimensions d’une feuille de format A4 en cm à 1 mm près.

 

Une histoire embrouillée comme les aime Lewis Caroll. De plus je trouve surprenant d’utiliser des lettres comme s’il s’agissait de nombre. À propos,  je me souvient d’une devinette :  « Je commence la nuit. Je finis le matin. Et j’arrive deux fois dans l’année. Qui suis-je ? ». Il m’a fallu un peu de temps pour porter mon attention sur l’écriture plutôt que sur l’évocation des éléments du temps. Oui, la première lette du mot est  un « n » de même « n » est la dernière de matin et se trouve écrit deux foi dans le mot année. Cela dit, les lettres utilisées en mathématiques sont sensée être des nombres.  

Je peux ajouter une nouvelle étape dans ma carte de mémorisation :  si lire aide à comprendre, et si lire c’est parvenir à comprendre, ne pas comprendre immédiatement me permet de constater mon désir de comprendre. 


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