QuiproquoDernière mise à jours 2025-06-19 par Mathilde Ohm |
, Déterminer la (ou les) valeur(s) de
qui vérifie(nt) l’égalité.
- Analyse du problème :
Puisque pour tout couple de réels positifs, on a l’équivalence
si
est un réel tel que
; alors, en élevant au carré :
soit
Inutile de faire des calculs compliqués, comme la recherche du discriminant, cela risque d’induire des erreurs de calculs et de dissuader de poursuivre. Il y a des racines évidentes puisque «
» ( encore : faut-il y penser ! )
Les réels
vérifiant cette relation sont 1 et 5.
Nous avons donc démontré que : « Siest solution de l’équation
» alors
ou
. « équation
» dénote (précise) que ce n’est pas l’équation initiale ! Le terme équation seul serait ambigu et laisserait supposer que les solutions conviendraient pour la première équation.
Je l’avais pressenti puisque je me disais « Je ne sais pas résoudre les égalités avec des racines. ». - Reprenons, nous n’avons pas démontré que les solutions du problème sont 1 et 5, mais uniquement qu’elles ne peuvent valoir autre chose. Il faut désormais tester chacune d’elles pour voir si elles conviennent effectivement : c’est l’objet de la synthèse.
- Synthèse : on remplace successivement
par 5 puis par 1 dans l’équation initiale, les calculs étant sans difficulté.
Il est facile de vérifier que 5 est bien solution. En revanche, pour, l’équation semble n’avoir pas de sens : elle fait intervenir des racines carrées de nombres négatifs. Ainsi 1 n’est pas une solution.
- Conclusion : 5 est l’unique réel qui vérifie l’équation
J’ai mis à profit mes remarques de la semaine dernière et j’ai cherché une représentation graphique de cet exercice cat il est tout de même envisageable d’avoir une idée de ces 2 équations et comment elles se distinguent :Visiblement
s’annule pour
et
et pour les valeurs de
le produit
est négatif.
est une fonction affine croissante et positive pour
.
Il convient donc de limiter le domaine de définition à L’autre réponse
est une solution qu’on ne peut pas imaginer parmi les réels. Lorsque les calculs sont embrouillés (par des expressions longues, par exemple) le domaine de définition ne devient explicite qu’au moment de la synthèse. La question sous-jacente est donc celle des implications et c’est là que ma question « Pourquoi écrire
, puisqu’il n’y a qu’une réponse ? » montre sa pertinence. L’expression
se comprend quand on la rapporte aux implications, aux relations et non pas aux solutions ! Cela s’illustre encore dans mon interrogation de cours.