25. Raisonnement par l’absurde.

Tous ensemble


Mise à jour 2022-11-05 par Mathilde Ohm
27. Le vif du sujet
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Nous sommes parvenus, ce matin,  à « dégager » l’idée d’ensemble binaire  sous-jacente aux notions de phénomène, circuit, logique et calcul mathématique. 
On peut exposer différentes représentations, diverses manifestations, de nombreuses expressions, cependant il s’agit de la même intention derrière ces instanciations. 

Il est fréquent qu’un phénomène se traduise par l’existence de deux états différents et deux seulement
Un tel phénomène est dit binaire
En plus des notations \forall x, et \exists x, nous aurons l’occasion d’examiner d’autres cas comme possible noté \Diamond x ou nécessaire  noté \Box x .

Pour l’instant, 
— un circuit électrique ne peut n’être qu’ouvert ou fermé ; Alfred de Musset disait  : Il faut qu’une porte soit ouverte ou fermée
— en logique mathématique, on ne considère, parmi les phrases ayant une signification, que celles dont on s’accorde à reconnaître qu’elles sont soit vraies, soit fausses. De telles phrases sont appelées propositions. (On parle alors de calcul propositionnel
  « Paris est la capitale de la France » est une proposition (vraie) ;
« 2 + 2 = 5 » est une proposition (fausse) ;
« Si je dis : je mens, est-ce que je mens ? » n’est pas une proposition.
— en mathématiques, un ensemble est défini lorsque, pour tout objet, on peut répondre par « oui » ou par « non » à la question : « Cet objet fait-il partie de l’ensemble ? ». De même, une propriété mathématique est soit vraie, soit fausse.
Représentations d’un phénomène binaire Soit A un phénomène binaire. Puisque A ne prend que deux états s’excluant mutuellement (soit vrai, soit faux) , on affecte à l’un des états la valeur 0 (en général, à la fausseté), à l’autre état la valeur 1 (en général, à la vérité).
Si l’on considère l’ensemble {0 ; 1}, la fonction, complément,  C(x) = 1 -x est définie sur  E={0,1} 

Les  deux fonctions,  produit, (x, y) = xy   et produel d(x, y) = 1 - (1 - x) (1 - y) sont définies sur l’ensemble E\left{0 ; 1\right},
La fonction produit : 
  • En logique : conjonction de deux propositions ou produit logique.
    Soit la phrase : « demain j’irai au cinéma et j’irai voir l’ami Pierre ». Si l’on considère les deux propositions :

     

    A : « demain j’irai au cinéma »  ;
    B : « demain j’irai voir l’ami Pierre »  ;

    La phrase proposée s’écrit A et B. Chacun s’accordera à reconnaître qu’elle n’est vraie que si les deux propositions AB sont simultanément vraies (un cas) ; fausse si l’une au moins des deux propositions est fausse (trois cas : A fausse et B vraie ; A fausse et B fausse ; A vraie et B fausse)

    On dit que A et B, noté  A ∧ B ou A • B ou enfin AB , est la conjonction (ou le produit logique des propositions A et B. La table de valeur ou de vérité  de AB  est :

    A B AB
    F F F
    F V F
    V F F
    V V V
     
    A B AB
    0 0 0
    0 1 0
    1 0 0
    1 1 1

    La table de valeur ci-dessus justifie l’expression « produit logique » puisque :  0 x 0 = 1 x 0 = 0 x 1 = 0  ; 1 x 1 = 1  et, par suite la notation A • B est couramment employée,  de  même que  AB comme en algèbre classique.

 
• Circuits électriques. Pour que la lampe X s’allume, il faut et il suffit que les deux interrupteurs,
lorsqu’on agit sur eux, soient simultanément sur la position 1
(figure ci-dessous,  ne pas oublier que les schémas sont représentés à l’état de repos).
Autrement dit, le circuit « montage en série », correspond au produit logique.

 

La fonction produel  : 

En français ce n’est pas très simple, 

[3d-flip-book id= »6106″ ][/3d-flip-book]

En logique.

  • — Soit la phrase : « demain j’irai au cinéma ou j’irai voir l’ami Pierre »}.
    Si l’on considère les deux propositions :
    A : « demain j’irai au cinéma »  ;
    B : « demain j’irai voir l’ami Pierre »  ;
    La phrase considérée s’écrit alors A ou B.
    On dit que c’est la conjonction logique des propositions A et B.
    On s’accordera à dire que A ou B est : vraie si, au moins l’une des propositions A et  B est vraie (trois cas) ; 
    faussesi A et B sont simultanément fausses.
  • — Plus généralement, étant données deux propositions A, B, la disjonction  A ou B, notée. \begin{vmatrix}A\\ B \end{vmatrix}, admet les tables de valeur (ou de vérité) ci-dessous :
A B d(x, y) 
F F F
F V V
V F V
V V V
A B d(x, y)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

 

En théorie des ensembles.

  • —  On note E U F ( lire « E union (ou réunion) F ) cet ensemble

 

 Circuits électriques. Pour que la lampe X s’allume il faut, et il suffit, que l’un au moins des interrupteurs A ou B soit, quand on agit sur eux, sur la position 1 (figure ci-contre, les interrupteurs sont à l’état de repos). Autrement dit, le « montage en parallèle » correspond à la disjonction  logique. 

La suite concernera  la structure  décrite par les  mathématiques de l’ensemble {0 ; 1} dite algèbre de Boole. 

Et en mécanique ? 

 

 

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