Création d'un mythe fondateur

Mise à jour 2023-11-17 par Mathilde Ohm

11 Quel contexte !

Qui dit mathématiques, dit Pythagore.

La tradition associe Pythagore et le théorème du triangle rectangle

tout en ajoutant que la relation a²+c²=b² est connue depuis l’antiquité ;

le tout associé à la corde à 13 nœuds des compagnons bâtisseurs.

Cette accumulation de récits qui constituent un des mythes fondateurs des mathématiques possède une extension

qui mérite le détour : le produit scalaire en est un avatar.

Ce chapitre montre que l’on peut sortir de ce cadre.

L’exercice qui suit a pour objectif de démontrer que le scalaire :

$\overrightarrow {u}\binom{x}{y} \cdot \overrightarrow {v}\binom{x'}{y'} = ||\overrightarrow {u}|| \times ||\overrightarrow {v}|| \times \cos \left( \overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \right) = xx' + yy'$

peut être traduit par une troisième expression en faisant le rapprochement avec les identités remarquables : $a^2 \pm 2ab + b^2$ et le triangle rectangle.

1. Sur géogébra trace un triangle rectangle.

NB : pour te faciliter la suite, garde les mêmes lettres, les mêmes mesures et les mêmes positions en saisissant
$A(0;0)$ puis $B(4;0)$ et $C(4;3)$ sinon $A$ et $B$ seront liés aux abscisses et ne seront pas très mobiles
tu pourras déformer la figure autant que tu voudras par la suite.

2. Crée une zone d’affichage de la somme $d: b^2 - a^2 - c^2$ en écrivant dans la barre de saisie $d = b^2 - a^2 - c^2$ afin de créer le réel $d$ , en ayant vérifié dans la fenêtre Algèbre, que les trois réels $a, b, c$ correspondaient aux longueurs respectives $BC, AC, AB$ .

Puis, utilise l’icône « a=1, Champ Texte », et écris alors dans la zone de saisie : $"d="+d$

Pour préciser et donner une consistance à l’idée, l’exprimer dans des termes utilisables.

Nous allons utiliser les vecteurs pour faire le lien entre $d$ et le produit scalaire.

5. Trace les vecteurs $\overrightarrow {u} = \overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {v} = \overrightarrow {BC}$ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB } \quad \text { et } \quad \overrightarrow{v} = \overrightarrow{BC}$ puis déplace le point $C$ pour obtenir successivement