26. Tous ensemble

Le vif du sujet


Mise à jour 2023-11-17 par Mathilde Ohm
 28. Le triangle dans le rectangle
Page suivante

Avril (semaine 14)

Cartes sur table : cartes en tête, cartes en mains

C’est en faisant un effort de remémoration que l’on renforce le souvenir :

[Boîte à outils] L’art de la mémoire

Qui plus est,  cet exercice est efficace  pour découvrir par soi-même ou préparer un chapitre, 
résoudre un exercice et participer à   consolider la confiance dans ses possibilités. 
 
La carte mentale et les fiches  n’ont guère d’intérêt qu’à être construites par soi-même. 
On peut partir d’un exemple ou de plusieurs, cependant c’est en les reproduisant
de mémoire et à sa propre manière qu’elles ont leur pleine utilité :  
 
 
 
 
 
Cela est renforcé par les commentaires (soliloque, colloque singulier, aparté) 
qui accompagnent la re-création. 
 
  • Mardi
    Nous sommes partis des 3 syntagmes : « produit scalaire », droites et cercles et, 
    par induction, évocation, rapprochement, similitude, identité, ressemblance, 
    analogie de nature, combinaison, enchaînements et qualification
    nous avons associé graphiques et expressions mathématiques : 

A est donné, quel est l’ensemble des points M du plan tels que AM = r  ? 

  • Cercle de centre A et de rayon <span data-ddnwab="PR_19_0" aria-invalid="grammar">r. AM = r si et seulement si M \in c(A, r)  
  • Le point </span>A.                  AM = 0 si et seulement si M = A.
  • L‘ensemble vide. On note : varnothing l’ensemble vide.

A et B sont donnés et distincts, quel est l’ensemble des points M du plan tels que 

\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM}   soient colinéaires ?

  • Droite (AB)    \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{MA}       sont colinéaires si et seulement si M \in (AB).
  •  Droite perpendiculaire à (AB)  en A.  \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM}   sont orthogonaux si et seulement si M \in \Delta avec A \in \Delta et \Delta \perp (AB) 
  • Cercle de diamètre [AB]. \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}  sont orthogonaux si et seulement si M  appartient au cercle de diamètre [AB]
  • Samedi  Nous avons élucidé deux exemples de questions semblables à celles des olympiades : 
  • Sachant que AA' et BB' sont perpendiculaires et que OA = 1
    quelle est la mesure de l’aire grise ? 
  • Quelles sont les valeurs des réels p et q sachant qu’ils sont solutions de l’équation

x^2 + px + q = 0 

Après le constat :  la réponse n’est pas immédiate, et après avoir supposé 
et accepté qu’il doit y avoir  une réponse possible et satisfaisante, 
pour  suggérer et faire  émerger nous avons décrit et augmenté l’énoncé de déductions simples. 
 
Sola Scriptura
Pour éviter de se perdre dans le flux des idées possibles, on retient ce qui est dans le sujet 
et on rejette ce qui hors de propos : 
inutile de garder le calcul du rayon (2\pi R) puisqu’il s’agit d’aire, 
Inutile de s’intéresser à la dérivée, puisqu’il s’agit des solutions de l’équation
…
L’énoncé s’enrichit 
 
p et q sont solutions de l’équation \textcolor{red}{x}^2 + p\textcolor{red}{x} + q = 0 
Une somme peut être traduite, exprimée,  (factorisée) 
\textcolor{red}{x}^2 + p\textcolor{red}{x} + q = (x - p ) ( x - q) = 0
si le coefficient de x^2  a pour valeur 1, -p est la somme des 2 solutions et q est le produit
- p = (p + q)   et   q = pq 
 
Ce sont les déductions qui conduisent vers l’objectif, pas le tâtonnement. 
Inutile donc de s’engager dans des calculs sans, au préalable, une direction à suivre (Chercher le belvédère)   
Les calculs hasardeux s’avèrent lourds et conduisent souvent à une perte de temps 
du fait des erreurs et,  parfois même, des erreurs de calculs pendant la vérification. 
 
Il y a une oscillation entre l’analyse et la synthèse : 
comme il y a une oscillation entre l’observation d’un tableau d’abord perçu dans son ensemble, puis analysé
ou un œuvre musicale perçue au fil de l’écoute avant d’être perçue dans sa globalité, 
entre la métaphore et la métonymie, plaisir de « dominer la situation » d’occuper une « place royale  » 
cet instant où on se prend au jeu et où on s’y retrouve. 
 
(3 minutes) :
 
 

+ La lettre volée et l’image dans le tapis. 

Puisque l’atmosphère générale est à rechigner face au confinement, 
inutile de se replier sur soi-même, 
et à  contre-courant du flot moutonnier, utilisons notre matière grise 
et prenons de la hauteur.   
 
——————
 
Comme observé dans l’exercice « p et q solution de x^2 +px +q = 0 », 
notre perception de l’exercice est perturbée par l’usage inhabituel de termes ou de contexte. 
 
De même,  
Triangle entier, nombre grand pair, nombre étranche, nombre renversé ( palindrome ), 
polyminos,  emirpimes, … 
 
L’exercice reste modérément mathématique, niveau collège,  et nécessite plutôt de se départir du sentiment d’étrangeté. 
 
Une première phase, et là, cela se complique,  consiste à préciser la définition du mot ou de la situation,  afin d’être capable de discerner si un élément  se conforme  ou non à la définition.  Ici, « aplati », … 
 
Ce ne sont pas encore les connaissances qui nous font défaut. 
 
Étude approfondie d’un cas particulier, 
soit, mais pour quelle raison ?  
Exemple, ajouter l’inégalité x+y > z à x \leq y \leq z
permet de définir le triangle non aplati 
auquel il sera fait référence par la suite. 
 
Les questions qui s’enchaînent ont leur raison d’être
et leur raison d’être dans cet ordre ! 
 
Un deuxième phase étudie  le dénombrement des objets,  « nombres » ou  figures  étudiés. 
On commence à utiliser des connaissances plus approfondies 
(dénombrements bornes comprises ou non, notation …) 
 
Je joins un exemple de réponse à l’ensemble, non pas pour avoir les réponses
mais plutôt pour déterminer le mode de pensée mise en œuvre.   
26. Tous ensemble
 28. Le triangle dans le rectangle
Page suivante