33. Démélés

D'une idée, l'autre


Mise à jour 2022-05-02 par Mathilde Ohm
13. Lever le doute
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Décembre (semaine 49)

Les  mathématiques que j’expose sont tout à fait ordinaires. 
En revanche je radote  avec prétention  des évidences pour conduire la pensée 
d’une idée à l’autre en ≈ pourpre, pour les garder en tête et s’en servir, 
puisque savoir sans pratiquer n’est guère mieux qu’ignorer.  
Cette rengaine est motivée par la nécessité de métaboliser (ie assimiler) le principe, qui, 
une fois adopté devient réflexe et automatique.  
   
Laissons les probabilités provisoirement et examinons un OVNI (Objet Volontairement Non Identifié) : le produit scalaire. 
À quoi cela peut-il être utile ? 
Question bienvenue, que tu n’as posée qu’au bout de 3/4 d’heure. 
 
On part de la définition scolaire :
 
 
 
 
qui, bien qu’énoncée en début de chapitre, recèle quelques obscurités. 
Au mieux, peut-on disposer de cette illustration, dont l’interprétation n’est pas immédiate.
 
 
Pour donner du sens à ces éléments, on s’oblige : 
1) à compléter la ritournelle : « je ne sais pas. » par l’exclamation  : « Encore ! »
    et se dire que si l’on ne sait pas encore, cela ne saurait tarder
2) se souvenir qu’un objectif mal défini conduit à une erreur précise : 
 
 

et qu’ici l’objectif est de se représenter le nombre réel \overrightarrow {u} \cdot \overrightarrow {v} = ||\overrightarrow {u}|| \times ||\overrightarrow {v}|| \times \cos \left(  \overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \right) 

3) et maintenant, à quoi ressemble l’illustration, qu’évoque-t-elle  ? 
Puisqu’il est fait référence à un cosinus, complétons le dessin pour  figurer le dit cosinus 

Le segment rouge OE représente le cosinus de \cos \left(  \overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \right)  puisque la mesure du  rayon du cercle égale 1. 

Si la solution ne s’impose pas, envisageons d’autres associations. Le triangle suggère une configuration de Thalès, 
ce qui nécessite la présence de parallèles d’où le graphique : 
On pressent la solution et pour la distinguer clairement, écrivons la traduction que propose le théorème de Thalès : 

\dfrac{OM}{\cos \left(  \overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \right)} = \dfrac{|| \overrightarrow {u}||}{1} 
et donc OM = ||\overrightarrow {u}|| \times \cos \left(  \overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \right) 

Une partie de l’objectif a pris sens. Reste à élucider le produit de ce premier facteur par ||\overrightarrow {v}|| 
 
On peut maintenant représenter la définition du produit scalaire comme l’aire d’un rectangle (rose) dont  les côtés 
sont d’une part  ||\overrightarrow {v}||  et d’autre part ||\overrightarrow {u}|| \times \cos \left(  \overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \right) 
 avec l’application géogébra en pièce jointe : 
Cela dit, il faut prendre garde à cette représentation trouvée sur internet, elle peut conduire
à une méprise : le produit scalaire est un nombre sans unité et donc n’est pas l’aire du rectangle. 
Qui plus est, le produit scalaire peut être négatif. 
Il existe deux autres calculs du produit scalaire qui donnent la même valeur (ouf ! ).
Je ne connais pas bien l’origine du produit scalaire. La physique, probablement… 
Bonus : si l’on considère un ensemble d’objets mathématiques et des opérations on va décrire différentes structures : 
magma, monoïde, demi-groupe, groupeanneaucorps commutatifespace vectoriel, module, algèbre…
Ainsi, par exemple, parle-t-on  du corps des nombres réels
 
 
 
Dans un deuxième temps, 
nous voulons déterminer l’équation de la droite  (g)  passant par (0,9)  
et perpendiculaire à la droite (f) d’équation y = 2x -3 
 
Il est probable que des notions minimales  soient rappelées  en début de cours. 
Cependant ne perdons pas de vue que le programme de seconde 
est considéré comme acquis et pré-requis pour la première. 
 
Nous avons établi que, si l’angle de la droite avec l’axe des abscisses est nommé \theta,  
le coefficient directeur dans   l’équation réduite se calcule au moyen du rapport  : 
 
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \tan \theta 
 
Le dernier chapitre, au sujet de la trigonométrie, a montré que nous pouvions établir :

\tan \left( \theta + \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) }{\cos\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) } = \dfrac{\cos \theta} {-\sin \theta} = - \dfrac{1}{\tan \theta} 

Nous pouvons donc en déduire que le coefficient directeur de la droite (d) perpendiculaire passant par (0,9) est :  y= - \dfrac{1}{2} x +0

Le produit scalaire peut aussi se calculer : 

\binom{x}{y} \cdot \binom{x'}{y'} = xx' + yy'\\ \binom{\textcolor{red} {1}}  {\textcolor{blue}{2}} \cdot \binom{\textcolor{green}{2}} {\textcolor{black}{-2}} = \textcolor{red}{1}\times \textcolor{blue}{2} +  \textcolor{green}{2} \times  \textcolor{black}{-1} = 0

Le produit scalaire est nul quand les droites sont orthogonales.
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