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Déduction faite


Mise à jour 2022-11-05 par Mathilde Ohm
 19. Sachant que …
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Pour -1 \leq x < 0, \cos w > 0 donc, x \neq \cos x

Donc, sur [ -1 ; 0], l’équation n’a pas de solution et  \mathcal{D} = ]0 ; 1]
Prouver qu’une fonction s’annule est préférable à montrer l’égalité et, 
x = \cos x \Longleftrightarrow x - \cos x = 0
On pose f(x) = x - \cos x définie sur\mathcal{D} = ]0 ; 1] ,  f est une somme de fonctions dérivables, donc \mathbf {f} est dérivable. 

Nous savons que la fonction dérivée de cosinus x est l’opposée de sinus x et cela se vérifie sur le graphe : 

On peut donc calculer la fonction dérivée de f(x) : \qquad f'(x) = 1 - ( -\sin x) = 1 + \sin x, x ∊ [-1 ; 1]

On sait que la fonction sinus varie entre -1 et 1   :  \qquad -1 \leq \sin x \leq 1 donc     0 \leq 1 + \sin x \leq 2     donc, f'(x) \geq 0

La seule valeur de x qui annule la fonction dérivée f'(x)  est -\dfrac{\pi}{2} f'(x) = 0 \Longleftrightarrow 1 + \sin x = 0 \Longleftrightarrow sin x = -1 \Longleftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}

f'(x) ne s’annule pas sur ]0 ; 1]  donc f'(x) > 0

Capture d’écran 2021-01-02 à 12.10.11.png 

Sur [0 ; 1] f est dérivable donc, \mathbf {f} est continue ; fest strictement croissante sur [0 ; 1], donc f ne change de signe qu’une seule fois, et donc, l’équation f(x) = x - \cos x = 0  n’admet qu’une et une seule solution \mathbf {\alpha} sur [0 ; 1] et donc, dans  \mathbb{R}

Pour déterminer une valeur approchée de \mathbf {\alpha} , on peut procéder avec une calculatrice programmable, ou au moyen d’une recherche par dichotomie avec un programme Python : 

Capture d’écran 2021-01-02 à 12.25.44.png
que l’on peut expérimenter ici :
Run, puis dicho (0.6, 0.8, 0.001), par exemple.

https ://replit.com/@DheninJean_Jacq/xEgalecosxsimple-1#main.py

NB : La dérivée de cosinus x n’est pas au programme de première, par conséquent, si, au contrôle, tu es confrontée à un exercice semblable, il s’agira plutôt d’un polynôme approchant. Par exemple :  pour x proche de 0.

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