Title: Inégalité de Bernouilli

Remettre dans l'ordre en commençant par la fin : « \( \forall a \in \left[ 0 ; +\inf \right], (1 + a)^n \geq 1 + na \) »
en descendant jusqu'aux données necessaires à l'établissement du théorème.

Conclusion : \( \forall a \in \left[ 0 ; +\inf \right], (1 + a)^n \geq 1 + na \)

- Il nous faut à la fois : \( \left\lbrace
\begin{array}{l}
P(0) \\
\forall n \in \mathbb{N}, P(n) \Rightarrow P(n + 1)
\end{array} \right.  \)
- D’où \( (1 + a) ^{n+1} \geq 1 + (n + 1)a \\
  P(n + 1) \textrm{ vrai}. \)
- Or \( (1 + na)(1 + a) = 1 + a + na + na^2 = 1 + (n + 1)a + na^2 \\ \)
et comme \( na^{2} > 0 : \\
(1 + na)(1 + a) \geq 1 + (n + 1)a \)
- Or, \(1 + a > 0 \), donc en multipliant l’inégalité \( (E)\) par \( (1 + a) \), on obtient : \( \\
  (1 + a)^{n+1} \geq (1 + na)(1 + a) \)
- Montrons que, pour tout \( n \in  \mathbb{N}  : \\
  P(n) \Rightarrow P(n + 1) \\ \)
Soit \( n \in \mathbb{N} \), supposons que \(P(n) \) est vraie donc : \( \\
(1 + a)^n \geq  1 + na \qquad (E) \)
- \( P(0) \) est vraie puisque \( (1 + a)^0 \geq 1 + 0a \)  pour tout \( a \in \mathbb{R_+} \)
- Démonstration : Par récurrence