11 : Prétexte : Déterminer le périmètre et l’aire d’un rectangle est un jeu d’enfant.
À contrario, trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit, est-ce aussi simple ?
Essayons  

21 : Plutôt que d'explorer par essais et erreurs, nous allons adopter une approche basée sur les indices.
Notre investigation débute en examinant les données fournies.
Existe-t-il une caractéristique remarquable de la somme ou du produit donnés ?     P = 0 => A = 0 

31 : Nous avons remarqué qu'un produit nul indique une solution évidente.
D'ailleurs, un rectangle sans aire n'est qu'une simple segment de droite.
Y aurait-il d'autres cas où une solution évidente s'impose ?       P = 1 et S = -2    =>  A = -1 et B = -1

41 : Après avoir noté que le produit nul et le produit égal à « un » sont des caractéristiques significatives,
continuons d'observer le produit pour identifier d'autres indices de solutions évidentes. P = n²    = {√P, √P}  S > 0 & P=n²  =>    {√P, √P}

51 : Après avoir noté que le produit nul,  égal à « un » ou carré d'un entier sont des caractéristiques significatives,
      S < 0 & P=n²  =>  {-√P, -√P}

61 La somme est nulle S=0 => {√P, -√P}

71 : Observer une donnée comme indice est utile, comme nous l'avons fait avec le produit et la somme.
De manière plus approfondie, repérer une relation entre deux informations peut être bénéfique.
Nous avons déjà, précédemment, combiné la valeur de la somme avec l'information obtenue grace au produit produit. 
Cependant, cette fois-ci, la relation entre les deux données est ce qui compte.

a)  P=S-1 => {1, P) ou b) S=P+1 =>  {1, P}     Quelque soit le signe du produit !!! 

c)  P= |S|-1 {-1, -P}   si l'écart en valeur absolue  


81 Comment faire avec des nombres plus important 

a) a > 0 et b > 0 

b) a < 0 et b < 0 

c ) a < 0 et b > 0 

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

11 : C'est une journée ordinaire pour le détective Paul Inaume. Confronté à un étrange cas, s'il bien  que résoudre le périmètre et l’aire d’un rectangle est aussi simple que de manger un burger lors de sa pause en ravanceh, cette nouvelle affaire est plus coriace : trouver deux nombres connaisant leur somme et leur produit, se révèle moins immédiat. Notre courageux détective se jette alors dans une  recherche méthodique. 

21 : Paul, plutôt que de se perdre dans d’interminables hypothèses, décide d'opter pour une approche progressive. En inspectant soigneusement les indices, il observe les données fournies. Existe-t-il un détail particulier fourni par les témoins que sont la somme ou le produit  ? S'il est vrai que P=0, alors doit être vrai que A=0.

31 : Parmi  les informations plausibles, Paul constate qu'un produit nul est aussi clair qu'une empreinte digitale sur une scène de crime : l'un des nombres est zéro. Cependant, il se demande s'il pourrait y avoir d'autres circonstances présentant une solution aussi évidente.

41 : Geo griffonne dans son carnet que le produit nul et le produit égal à un sont des indices précieux. Il poursuit son observation, cherchant d'autres indices qui pourraient l'éclairer dans cette sombre affaire. En examinant le produit, un nouveau suspect est identifié : quand P est égal à un carré parfait.

51 : Notre héros note soigneusement une autre découverte majeure. Un produit égal à « un » ou le carré d'un entier sont également des éléments à ne pas négliger. Geo ajoute cette trouvaille à son carnet d'enquête, puis continue d'analyser le produit pour lever le voile.

61 : "Des chiffres parlent toujours si vous savez comment les écouter", murmure Geo, concentré sur le produit et la somme. Tout comme une relation suspect-victime peut résoudre un crime, la relation mystérieuse entre ces deux valeurs pourrait à leur tour révéler les nombres recherchés.

71 : L'un des suspects est-il négatif ? Si le produit est négatif, c'est une possibilité. Geo se trouve face à une multitude de scénarios : les deux suspects pourraient être positifs, les deux pourraient être négatifs, ou l'un pourrait être négatif et l'autre positif. Dans tous les cas, une des voies l'emmènera à la vérité.

En poursuivant l'enquête, Geo sait qu'il est sur la bonne voie pour résoudre ce casse-tête mathématique. Après tout, chaque chiffre est un indice, et chaque relation est un lien entre les suspects. Avec un peu plus de réflexion, il est certain de démasquer les véritables coupables.`

P = 0 ? 

chassé
ciblé
épié
filé
fouillé
pisté
poursuivi
quêté
recherché
recherché,
repéré
suivi
traqué
visée,
============================

je veux représenter un algorithme sous forme de diagramme en TikZ.

Il s'agit de traiter différentes conditions basées sur les valeurs de $S$ et $P$, puis calculer
les variables $n_1$ et $n_2$ en conséquence. Chaque test et chaque étape est représentée par un
nœud et une flèche de laison dans le diagramme TikZ. On urilisera le package "flowchart"




Nœud initial : Il s'agit de l'étape de départ de l'algorithme, indiquant qu'une nouvelle énigme
est présentée.

Nœud de connaissance : Après avoir introduit l'énigme, cette étape indique que les variables $S$
et $P$ sont connues.

Tests et nœuds associés : L'algorithme commence par des tests sur la valeur de $P$. S'il est égal
à 0, l'algorithme passe à l'étape suivante où les valeurs des variables $n_1$ et $n_2$ sont
définies.

Si $P$ est égal à 1, l'algorithme effectue un test pour savoir si $S$ est supérieur à 0. Si
c'est le cas, les valeurs de $n_1$ et $n_2$ sont définies comme 1. Si $S$ est égal ou inférieur
à 0, les valeurs sont définies comme -1.

Si $P$ est le carré d'un nombre, un test est effectué pour vérifier si $S$ est positif. Si oui,
les valeurs de $n_1$ et $n_2$ sont définies comme la racine carrée de $P$. Sinon, les valeurs sont
définies comme la racine carrée de $P$, une positive et l'autre négative.

Si $S$ est égal à 0, les valeurs de $n_1$ et $n_2$ sont définies comme $\sqrt{p}$ et $-\sqrt{p}$.

Si $P$ est égal à $S-1$, un test est effectué pour vérifier si $S$ est positif. Si oui, les
valeurs de $n_1$ et $n_2$ sont définies comme 1 et $P$. Si non, les valeurs sont définies comme -1
et $P$.

Si $P$ est égal à $|S|-1$, les valeurs de $n_1$ et $n_2$ sont définies comme 0 et $S$.

------------------------------------------

Paul Hinaume, l'enquêteur mathématique, se retrouva
face à une énigme mystérieuse. Deux nombres, n1 et n2, étaient au cœur de cette affaire, leurs
secrets cachés derrière la somme S et le produit P. Une énigme dont la solution pourrait être
l'indice d'un code mathématique insoupçonné.

Dans le monde des nombres, les indices sont des pistes. Paul commença par considérer l'énigme
lorsque P était nul. Une première révélation émergea : l'un des nombres devait être nul pour
que leur produit soit nul. Une piste découverte, mais le mystère persistait.

Un autre indice apparut lorsque P valait un. Un sourire éclaira le visage de Paul. Les deux
nombres, n1 et n2, devaient être égaux à un pour que leur produit soit un. L'énigme gagnait en
complexité, mais aussi en clarté.

Le labyrinthe des nombres réservait d'autres surprises. Paul se retrouva devant la question
cruciale : que se passait-il si S était nul ? La réponse l'amena à une conclusion inattendue :
n'importe quelle paire de nombres opposés convenait. Évidemment ! Pourquoi n'avait-il pas vu cela
plus tôt ? La somme de 5 et -5 était nulle, tout comme celle de 342 et -342. Un indice important
émergea : si P était positif, l'un des nombres devait être la racine carrée de P et l'autre son
opposé.

Toutefois, l'enquête n'en était qu'à ses débuts. Paul continua à décrypter les indices. Un
nouvel élément entra en jeu lorsque P se révéla être un carré parfait. Une lumière clignota
dans l'esprit de Paul. Les nombres n1 et n2 devaient être les racines carrées de P ou leurs
opposés si S était négatif.

Lorsqu'il découvrit que P était égal à S diminué de un, Paul sut qu'il devait agir avec
prudence. N1 avait une valeur spécifique, mais l'autre nombre, n2, était P. La subtilité de cette
énigme exigeait toute son attention.

Le dénouement approchait. Paul avait rassemblé les indices, exploré chaque piste, et déduit une
série de règles pour ces nombres mystérieux. Si S était positif, n1 et n2 étaient positifs et
égaux à la racine carrée de P. Cependant, le cas où P était négatif révéla une autre facette
de l'histoire : n1 et n2 étaient égaux à -1.

Finalement, Paul résolut le dernier cas, celui où P était positif et S était négatif. Il trouva
que n1 était la racine carrée de P et n2 son opposé.

L'énigme mathématique se révéla finalement comme une affaire de relations subtiles entre les
nombres. Avec chaque indice décrypté, chaque piste suivie, Paul avait dessiné le portrait
de n1 et n2 en fonction de S et P. Un sourire satisfait éclaira son visage. L'enquête était
terminée, et la solution mathématique était résolue grâce à l'ingéniosité de Paul Hinaume,
le détective des nombres.



////////////////////////

Bien sûr, voici une approche axée sur la méthode de recherche systématique de Paul Hinaume pour
déterminer les relations entre n1 et n2 en fonction de S et P :

Paul Hinaume, un enquêteur mathématique renommé pour sa perspicacité et son ingéniosité, se
trouva face à une énigme mathématique intrigante. Deux nombres mystérieux, n1 et n2, semblaient
être les clés d'une équation énigmatique impliquant leur somme, S, et leur produit, P. Dans
l'univers des nombres, chaque piste est une opportunité, et Paul était déterminé à découvrir
la vérité cachée derrière cette énigme.

Avec un esprit analytique aiguisé, Paul entama sa quête pour démêler les relations complexes
entre n1, n2, S et P. Pour commencer, il posa les bases en considérant différentes valeurs de P.
La première découverte fut que lorsque P était nul, l'un des deux nombres devait être nul pour
que leur produit le soit également. Une première piste intéressante, mais cela ne résolvait pas
l'énigme dans son ensemble.

Paul savait que la clé résidait dans une approche systématique. Il analysa ensuite les cas où P
valait un. Le résultat fut surprenant : dans ce scénario, les deux nombres devaient être égaux
à un pour que leur produit le soit aussi. Cette piste le conduisit à réaliser qu'il fallait
explorer davantage les valeurs possibles de S et P pour obtenir une compréhension complète.

Le détective mathématique poursuivit son enquête, explorant la somme S et ses implications sur
n1 et n2. Lorsque S était nul, Paul découvrit que n'importe quelle paire de nombres opposés
convenait. Une révélation surprenante qui élargit le champ des possibilités.

Puis vint le cas où P était un carré parfait. Ici, Paul constata que n1 et n2 devaient être les
racines carrées de P ou leurs opposés si la somme S était négative. Cette nuance ajoutait une
couche de complexité, mais elle constituait une pièce essentielle du puzzle.

La quête de Paul ne s'arrêtait jamais. Il décida alors d'explorer l'énigme dans le contexte où
P était égal à S diminué de un. Cette situation délicate l'amena à découvrir que n1 avait
une valeur spécifique, tandis que n2 était égal à P. Cette subtilité ne fit qu'accroître sa
détermination à démêler le mystère.

À chaque étape de sa recherche, Paul prenait soigneusement note de ses découvertes. Des motifs
émergeaient, des relations se dessinaient. Il se rendit compte que lorsque S était positif, n1 et
n2 étaient positifs et égaux à la racine carrée de P. Si P était négatif, ils étaient égaux
à -1. Quant au cas où P était positif et S négatif, n1 était la racine carrée de P et n2 son
opposé.

L'enquête de Paul avait abouti à la création d'une méthode systématique pour déterminer
les valeurs de n1 et n2 en fonction de S et P. Chaque indice, chaque relation découverte, avait
contribué à dessiner le tableau complet. Avec un sourire de satisfaction, il savait qu'il avait
percé le mystère grâce à sa persévérance et à sa détermination.

Paul Hinaume, le détective mathématique, avait résolu une énigme en utilisant l'approche
systématique, en explorant méthodiquement chaque scénario possible. Sa réussite était le
résultat de sa passion pour les nombres, sa curiosité inextinguible et sa capacité à assembler
les indices pour révéler la vérité cachée.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Certainement, voici une version plus sobre et axée sur la méthode de résolution plutôt que sur
les qualités de Paul :

Paul Hinaume, un enquêteur mathématique réputé pour sa méthodologie rigoureuse, se plongea dans
une énigme intrigante. Les nombres mystérieux n1 et n2 semblaient être liés par une équation
complexe impliquant leur somme, S, et leur produit, P. Sans se laisser distraire par des conjectures
hâtives, Paul s'engagea dans une démarche systématique pour dévoiler les relations cachées
entre ces variables.

Sachant que la clé résidait dans une exploration méthodique, Paul commença par examiner
différents cas de figure. Lorsque P était nul, il comprit rapidement que l'un des nombres devait
être nul pour que leur produit le soit également. Cependant, cela ne résolvait qu'une partie de
l'énigme complexe.

Poursuivant sa quête, Paul se pencha sur le cas où P équivalait à un. Étonnamment, il
découvrit que dans cette configuration, n1 et n2 devaient être égaux à un pour que leur produit
soit cohérent. Cela l'incita à explorer plus en profondeur les valeurs possibles de S et P, sans
sauter d'étapes.

Avec une patience inébranlable, Paul étudia le scénario où la somme S était nulle. Il constata
alors que toute paire de nombres opposés pouvait satisfaire cette condition. Cette réalisation
ouvrit la voie à des possibilités plus vastes, mais nécessitait encore des examens plus
approfondis.

Le cas où P était un carré parfait suscita l'intérêt de Paul. Il remarqua que n1 et n2 devaient
être les racines carrées de P, ou leurs opposés si la somme S était négative. Cette nuance
subtile ajouta une dimension supplémentaire à l'énigme, tout en renforçant son désir d'explorer
chaque recoin de la question.

Enfin, Paul se pencha sur la situation où P était égal à S diminué de un. Cette configuration
particulière le conduisit à la conclusion que n1 avait une valeur spécifique, tandis que
n2 était égal à P. Cette subtilité n'échappa pas à son attention méthodique et fit
progressivement émerger la solution complète.

Au fil de son enquête, Paul consigna soigneusement ses découvertes, créant ainsi une vue
d'ensemble des relations entre n1, n2, S et P. Il parvint à dégager des modèles clairs et des
schémas logiques. Il devint évident que lorsque S était positif, n1 et n2 étaient positifs et
égaux à la racine carrée de P. Lorsque P était négatif, ils étaient égaux à -1. Dans le
cas où P était positif et S négatif, n1 était la racine carrée de P tandis que n2 était son
opposé.

Paul Hinaume avait réussi à résoudre l'énigme grâce à sa méthodologie systématique et à
son analyse minutieuse. Sa persévérance et sa discipline lui avaient permis de démêler le
mystère qui se cachait derrière les nombres et les relations mathématiques. C'était une leçon
d'approche méthodique qui montrait que chaque indice, chaque découverte, contribuait à révéler
la vérité, une étape à la fois.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Dans le monde des nombres, une quête silencieuse s'éveilla, menée par un chercheur curieux du nom
de Paul Hinaume. Tel un observateur des cultures éloignées, il se plongea dans le labyrinthe des
équations, à la recherche d'une méthode pour dévoiler les secrets cachés entre n1 et n2, deux
nombres mystérieux liés par les énigmes de S et P.

Comme un voyageur égaré dans une contrée inconnue, Paul entreprit une exploration méthodique.
Il scruta chaque configuration, notant attentivement les découvertes au fur et à mesure qu'elles
émergèrent. Lorsque P se révéla être zéro, un tableau se dessina, où n1 et n2 devaient
négocier leur existence en échangeant des places. C'était comme si un vieux rituel numérique
prenait vie sous ses yeux, une danse d'équilibre et de sacrifices.

Le lien particulier entre P et 1 attira son attention, un lien mystique où n1 et n2 s'accordaient
en une mélodie unique. Tel un observateur silencieux de la nature, il perçut l'harmonie entre ces
nombres, la façon dont ils se rejoignaient dans une alliance secrète.

Les énigmes des sommes nulles furent comme des fragments d'une histoire ancienne qui se
révélaient peu à peu. Paul émit l'hypothèse que lorsque la somme était nulle, n1 et n2
étaient comme des reflets, des ombres inversées l'une de l'autre. Un jeu de miroirs numériques
où les contraires coexistaient.

La quête continua avec les carrés parfaits, un chapitre mystérieux où n1 et n2 dansaient en
harmonie avec P. Chaque nombre révélait une facette cachée de l'autre, un duo d'équations qui
semblait danser selon une chorégraphie secrète. Paul perçut le motif caché dans ces pas de danse
numérique, une symphonie de racines et de puissances.

Enfin, la dernière énigme dévoila un lien subtil entre P et S diminué d'un. Paul observa chaque
indice comme un archéologue découvrant une civilisation ancienne. Il comprit que n1 prenait une
nature pure, tandis que n2 se liait à P de manière inaltérée. Les nombres étaient comme des
artisans tissant une toile complexe de relations.

Au fil de ses explorations, Paul devint un conteur silencieux, un chercheur d'histoires cachées
dans les mathématiques. Il rassembla des fragments de connaissances comme un collectionneur
d'antiquités numériques. À travers cette quête, il dévoila les récits enchanteurs que les
nombres avaient à partager.

Dans ce voyage de découverte, Paul Hinaume n'était pas seulement un chercheur, mais un narrateur
des mystères mathématiques. Chaque nombre était une lettre persane, dévoilant des récits
anciens inscrits dans les chiffres. Et ainsi, son voyage dans le monde des équations devint une
allégorie des curiosités humaines, une quête pour déchiffrer les langages cachés de l'univers
des nombres.


&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Mesdames et Messieurs de la cour mathématique, je me tiens devant vous pour vous présenter le
travail minutieux et méthodique de Paul Hinaume, un chercheur intrépide qui a entrepris une quête
pour résoudre une énigme complexe. Tel un avocat plaidant devant un tribunal de nombres, Paul a
scruté chaque aspect de l'affaire avec une précision digne d'une loupe judiciaire.

L'histoire commence avec une énigme nouvelle, où S et P sont les protagonistes mystérieux. Paul,
telle une enquêteur aguerri, a d'abord établi les faits : S et P étaient les données clés
à sa disposition. Il a posé les bases, telle une déclaration d'ouverture, en définissant les
éléments fondamentaux de l'affaire.

Comme tout bon avocat, Paul a ensuite exploré différentes pistes pour résoudre l'énigme. Il
a abordé chaque éventualité avec une rigueur méthodique, ne laissant aucune possibilité
inexplorée. Tel un raisonnement syllogistique, il a évalué les différentes hypothèses pour en
déduire les vérités cachées.

Lorsque le verdict de P égal à zéro a été prononcé, Paul a évoqué un scénario où n1 et
n2 se sont échangés leurs rôles, tel un jeu d'équilibre. Comme un plaidoyer percutant, il a
montré que chaque nombre avait sa place dans cet échange numérique, créant un portrait clair des
dynamiques en jeu.

Le mystère entre P et 1 a été son prochain défi. Comme un avocat défendant une cause difficile,
Paul a démêlé les fils complexes des nombres. Il a dévoilé comment n1 et n2 dansaient en
harmonie avec P, comme s'ils partageaient un lien profond et secret. L'enthymème logique a été
son arme pour révéler ces connexions cachées.

La vérité des sommes nulles s'est révélée tel un revirement de situation dans le procès. Paul
a exposé comment n1 et n2 se reflétaient l'un l'autre, créant une symétrie numérique dans
l'ombre de zéro. Il a décrit cette relation comme un élément clé de l'affaire, démontrant
comment les contraires coexistaient.

Le chapitre des carrés parfaits a été une révélation, où Paul a utilisé le raisonnement
inductif pour démontrer que chaque nombre était une facette cachée de l'autre. Telle une
plaidoirie persuasive, il a montré comment n1 et n2 étaient liés par une relation subtile avec P,
créant une danse numérique captivante.

Enfin, l'affaire de P égal à S diminué d'un a été la conclusion époustouflante. Comme un
dénouement inattendu dans une salle d'audience, Paul a révélé que n1 prenait une nature pure
tandis que n2 se liait directement à P. Tel un verdict final, il a montré comment les nombres
prenaient leur place dans l'équation.

Ainsi, Mesdames et Messieurs, je vous présente le travail de Paul Hinaume, un chercheur qui,
tel un avocat plaidant une cause, a scruté chaque détail avec précision. Son raisonnement
syllogistique, ses déductions logiques et son enthymème ont abouti à des révélations
étonnantes. L'organisation méthodique de son travail est une démonstration de son dévouement à
la résolution de cette énigme mathématique.



!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


Permettez-moi de vous présenter le récit de Paul Hinaume, un esprit curieux et méthodique, qui
a entrepris une quête mathématique comme un voyageur explorant des terres inconnues. Tel un
éthnologue se plongeant dans une culture énigmatique, Paul s'est plongé dans l'étude de nombres
mystérieux, guidé par la soif de comprendre leurs relations profondes.

Dans son aventure intellectuelle, Paul a commencé par poser les fondations de son enquête. Comme
un érudit découvrant un ancien manuscrit, il a énoncé les faits clés : S et P étaient les
acteurs centraux de cette énigme. Telle une lettre persane, il a dressé un tableau des éléments
fondamentaux, ouvrant ainsi la porte à une exploration approfondie.

Paul a ensuite entrepris une série de démarches logiques, tel un alchimiste cherchant à
transformer le plomb en or. Chaque test était une étape dans son processus de découverte. Il a
examiné P à la recherche de vérités cachées, comme un archéologue fouillant les couches de
terre pour exhumer des trésors enfouis depuis longtemps.

Les scénarios où P équivalait à zéro l'ont confronté à des paradoxes intrigants. Telle une
énigme ésotérique, il a exploré comment n1 et n2 pouvaient s'entrelacer, créant une danse
subtile entre les nombres. Chaque étape était comme une traduction minutieuse d'un texte ancien,
révélant les subtilités de cette équation mathématique.

Les mystères de P égal à 1 l'ont poussé à démêler les fils du destin numérique. Tel un
conteur captivant, il a décrit comment n1 et n2, tels des protagonistes de légende, jouaient leurs
rôles dans ce récit mathématique. Chaque détail était comme une énigme résolue, éclairant un
coin obscur de cette affaire.

La somme nulle a été une révélation majeure dans son voyage. Tel un voyageur observant un
paysage inattendu, Paul a noté comment n1 et n2 se reflétaient l'un l'autre, créant une harmonie
mystérieuse. Chaque observation était comme un éclair de compréhension, illuminant les recoins
cachés de cette énigme.

Lorsqu'il a exploré le royaume des carrés parfaits, Paul a été comme un explorateur découvrant
une cité perdue. Tel un éthnologue plongé dans une culture lointaine, il a décrit comment n1 et
n2 s'unissaient dans une relation subtile avec P, comme s'ils suivaient des coutumes anciennes et
sacrées.

Le dénouement, où P équivalait à S diminué d'un, a été comme la conclusion d'une énigme
complexe. Tel un maître résolvant un puzzle final, Paul a dévoilé comment n1 prenait une nature
distincte tandis que n2 devenait directement lié à P. Chaque révélation était comme un verdict
dans une affaire judiciaire, scellant le sort de cette énigme mathématique.

Et ainsi, le récit de Paul Hinaume s'achève, laissant derrière lui un sentier de découverte
et d'apprentissage. Tel un écrivain racontant une fable mystérieuse, il a guidé nos esprits à
travers les labyrinthes de nombres et de relations. Chaque étape était un pas vers l'illumination,
chaque observation un éclat de compréhension, et chaque révélation un trésor dans le royaume
des mathématiques.

)))))))))))))))))))))))


Prenons le scénario précédent autrement ; Paul est à la recherche d'une méthode pour ne pas
perdre de temps dans des calculs superflus concernant la recherche de deux nombres onnaissant leur
somme et leur différence. Il envisage les différents cas et les indices forunis par les données
d'abord séparément c'est à dire le produit puis la somme, après cela il examine les relations
entre les deux données et non plus les données en elle-mêmes. L'examen de ces différentes
situations le conduit à prendre bonne note du résultat pour les prochains exercices.

((((((((((((((((((((( )))))))))))))))))))))

Étape 1 : Germination L'idée germe dans l'esprit d'un mathématicien passionné par les problèmes
de factorisation et d'équations. Alors qu'il réfléchit aux propriétés des nombres et à la
manière dont ils interagissent, il se rend compte qu'il y a une lacune dans la façon dont les
nombres sont généralement manipulés. Il réalise que la relation entre la somme et le produit de
deux nombres pourrait être explorée de manière plus profonde et utile que ce qui est actuellement
enseigné.

Étape 2 : Naissance de l'idée L'idée prend forme lors d'une conférence mathématique où notre
mathématicien présente une solution novatrice à un problème complexe de factorisation. Plutôt
que d'utiliser des méthodes traditionnelles, il introduit le concept de "nombre somme-produit"
(NSP) et montre comment il peut être utilisé pour résoudre non seulement le problème en
question, mais aussi de nombreux autres problèmes mathématiques. Le NSP d'une paire de nombres est
défini comme la somme des nombres et le produit des nombres, et il offre de nouvelles perspectives
pour aborder les problèmes mathématiques.

Étape 3 : Démarcation de l'idée L'idée du NSP commence à se démarquer de l'idée primaire de
calculer le périmètre et l'aire d'un rectangle. Alors que l'idée primaire se concentre sur des
concepts géométriques spécifiques, le NSP propose une approche plus abstraite et générale. Il
permet de traiter des questions plus vastes et diverses, comme les propriétés des équations, la
cryptographie et même des applications en sciences économiques.

Étape 4 : Baptême de l'idée Lors d'un symposium mathématique international, l'idée du NSP est
officiellement baptisée "L'Arithmétique Synthétique". Ce nom reflète l'approche novatrice de
l'idée en utilisant des concepts fondamentaux de l'arithmétique pour synthétiser de nouvelles
méthodes de résolution de problèmes complexes.

Ainsi, à partir de ses modestes débuts en tant que simple réflexion sur les relations entre les
nombres, l'idée de l'Arithmétique Synthétique évolue pour devenir une approche mathématique
puissante et polyvalente, offrant de nouvelles perspectives pour aborder une variété de problèmes
mathématiques et appliqués.



#######################

C'est une idée qui prend naissance avec l'aube des mathématiques et dont on trouve une attestation
dans les travaux de Diophante d'Alexandrie mathématicien environ du IIe sciècle avant jc . Le
problème XXVII de son Livre I des Arithmétiques se formule ainsi : « trouver deux nombres ayant
pour somme de 41 et pour produit de 420.    (11)

Nous avons croisé une de ses parentes caractérisée par la somme nulle. Dans ce cas les deux
nombres sont opposés n_1 = -n_2 et n_1 = sqrt{p}. (21)

Un autre occasion s'est présentée avec le théorème : « pour qu'un produit soit nul, il faut et
il suffit d'un de ses facteurs soit nul » (31)

Poursuivons, si le produit peut être nul, il peut aussi bien être égal à 1. Dans ce cas, il faut
prendre en compte le signe de la somme : si s = 1, alors n₁ = n₂ = 1, mais si s = -2, alors n₁
= n₂ = -1. (41)

Une autre caractéristique est à remarquer lorsque P est un carré. Vérifions si le
carré de la moitié du produit correspond. Si s > 0, alors n₁ = √p et n₂ = √p. En revanche,
si s < 0, alors n₁ = -√p et n₂ = -√p. (51)

Observer une donnée en tant qu'indice peut être fructueux, comme nous l'avons fait pour le
produit et pour la somme. D'une manière plus abstraite, repérer une relation entre deux informations
peut être bénéfique. Auparavant, nous avons combiné la somme avec l'indice du produit.
Cependant, cette fois-ci, c'est la relation entre les deux données qui est essentielle. (61)

Jusqu'à présent nous avons utilisé des petits nombres entiers pour S et P. Quand est-il lorsque
le S e et P sont un peu plus grands. On peut utiliser une visualisation animée pour y voir plus clairi. (71)

Mais cela prend d'autant plys de temps que la valeur dela somme augmente. On eput remarquer que les valeurs des deux nombres 
sont à égale distance de leur moyenne s = S/2. En traduisant la fin de l'animation par m'expression 
n_1 = s - \sqrt(s^2 -P) et n_2 = s + \sqrt(s^2 -P) (81à)


On voit sur l'animation se dessiner « en creux » un carré dans l'angle supérieur gauche. Appelons x le côté 
de ce carré. Transcrivons le dessin sous forme écrite : $x^2 + S x + P $    (91)