Une femme avertie en vaut deux

Mise à jour 2023-11-17 par Mathilde Ohm

Trouver à redire

Si certains exercices ont pour fonction de vérifier que l’élève a appris son cours,
la plupart du temps, un exercice est une occasion de la découverte
d’un propriété mathématique inexplorée en classe, une précision de méthode
ou encore une attitude personnelle devant un énoncé.

Ce paragraphe ci-dessus ramené à l’ordre du jour semble un radotage pourtant, cette fois,
il est replacé dans le cadre de la confiance en soi, (ie se sentir capable de relever des défis à venir
distincte de l’estime de soi qui, elle, se rapporte au sentiment d’avoir de la valeur).

Dans l’exercice courant quelques questions viennent à émergées :

c’est un exercice difficile,
Je n’aurais jamais trouvé ça toute seule,
je suis désorientée avec l’indication « $x>1$ » dans la question « 2) En déduire que pour $x<1$ , $e^x \leq \dfrac{1}{1-x}$ »,

Au quotidien, la certitude peut être un luxe parasite.
En mathématiques il nous faut être en mesure de justifier chaque proposition,
les énoncés s’enchaînent en supposant un accord implicite sur leur inférence.
Souvent, la difficulté est, pour ainsi dire, du côté fu français plus que des maths.

Ainsi passe-t-on de pour tout $x$ réel, $1+x \leq e^x$ , à pour $x<1$ , $e^x \leq \dfrac{1}{1-x}$ ,
en adoptant l’idée de substituer $-x$ à $x$ .

Cela ne s’impose pas et nécessite de traduire pour tout $x$ réel et d’accepter que les opposés $x$ et $-x$
appartiennent donc à $\mathbb{R}$ et que $1 - x$ c’est $1 + (-x)$

Disposer de l’indication « remplacer $x$ par $-x$ », ne suffit pas à dissiper les interrogations liées à l’embrouille autour de l’indication « $x>1$ » dans la question 2). Comment orienter la pensée pour s’y retrouver ?

Changer de perspective

Les termes mathématiques « $x>1$ », $1+x \leq e^x$ et $e^x \leq \dfrac{1}{1-x}$ semblent, eux, malgré tout, compréhensibles.
Alors qu’est-ce qui nous déroute ?
Comme souvent, détaillons l’environnement proche, puis, si nécessaire, l’environnement plus lointain.

La question dans son ensemble est « 2) En déduire que pour $x<1$ , $e^x \leq \dfrac{1}{1-x}$ » est c’est l’instruction « En déduire que pour $x<1$ » qui demande de redoubler …
… d’attention, et pourtant les mots « En » et « déduire » ne sont pas obscurs. Grosso modo, « En » représente « $1+x \leq e^x$ » et « déduire », même sans une définition incontestable, suggère une démonstration.

Non, c’est plutôt que si l’on comprend que « Si $x>1$ » alors … $e^x \leq \dfrac{1}{1-x}$ on ne voit pas l’implication aussi clairement que lorsqu’on dit « Si tu es sage, alors nous irons au cinéma »
ou « Si vous avancez, je tire ». Dans ce deuxième exemple, le français sous-entend alors, « Si tu avances, — alors — je tire » et parfois,comme dans « … tu as soif, … il y a de l’eau au frigidaire » où le « si » et le « alors » sont élidés.

Lâchons prise. Et essayons de nier l’expression pour observer les conséquences. A contrario, Supposons $x \geq 1$ . et comme il se doit examinons les 2 cas : Si « $x = \textcolor{red}{1}$ », le dénominateur de la fraction $\dfrac{1}{1- \textcolor{red}{1}}$ devient nul et la valeur de la fraction n’appartient plus aux nombres réels.
Et si, deuxième cas, « x > 1 ». le dénominateur devient négatif, la fraction aussi et n’est donc pas supérieure à $e^x$ lui-même positif pour tout $x$ .

Y-a-t-il un point de fuite, une porte de sortie ?

S’orienter dans l’espace c’est connaître sa droite et sa gauche et disposer d’un point fixe. Par définition, en se plaçant face au soleil à midi, la soleil s’est levé à gauche et se couchera à droite.
S’orienter dans la pensée nécessite de donner un sens à l’orde des mots. Cependant, en français, l’ordre des mots peut être perturbé et nous sommes éduqués à rétablir : « Belle marquise, d’amour, me font mourir, vos beaux yeux ».

Essayons : « En déduire que $e^x \leq \dfrac{1}{1-x}$ , pour $x<1$ ». Cette fois le commentaire serait :
Déduire de l’inéquation $1+x \leq e^x$ , vrai $\forall x \in \mathbb{R}$ , que $e^x \leq \dfrac{1}{1-x}$ est vraie pour $x < 1$ .

À ce stade, le changement de variable $x$ par $-x$ conduit à la solution.

Ce long cheminement détaillé autorise quelques observations :

Ce qui permet de comprendre, et c’est ce qui nous importe, c’est que le sens premier auquel nous avions adhéré n’était pas si clair. C’est bien ce qui fait question qui conduit vers un éclaircissement ;
notre grille de lecture est tributaire de notre point de vue ;
le propre de l’orientation est qu’elle est consciente de cette perspective ;
inutile de renoncer au motif que cela ne veut rien dire, quand bien même y aurait-il une coquille dans l’énoncé, il a signification qu’il s’agit de dégager et de rendre cohérent.
comme pour la phrase, « Si tu as soif, il y a de l’eau au frigidaire », ce n’est pas parce $x < 1$ précède $e^x \leq s\dfrac{1}{(1-x)}$ ,
que l’on déduit l’inéquation de sa condition de validité.
enfin, une fois de plus, le problème n’est pas moi, il me reste à donner du sens à la question puisqu‘elle doit en avoir.