46. SignoSemio

Tampon


Mise à jour 2022-12-03 par Mathilde Ohm
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Préjugés
Aux appréciations sur l’énoncé ou sur moi-même, opposer une volonté de comprendre.
Être un peu soupçonneux pour éviter la perte de temps !
L’usage d’expressions approximatives dans le langage quotidien peut conduire à des erreurs de pensée.
Méfions-nous, des jolies figures de style (sommes, produits et dérivée)
Compenser par des bouffées d’air,
C’est l’ombre du doute qui conduit à la vérification ;
Nécessité d’être soupçonneuse sur ses résultats et donc … de les vérifier
L’évidence nous aveugle quand elle ne nous crève pas les yeux
Redoubler d’attention,
Raisonnement faux parce que le sens des calculs s’oublie derrière ce qui s’entend,
autrement dit la forme masque le fond.
Pour se sortir d’affaire mettre un terme aux calculs et récapituler
Notre grille de lecture est tributaire de notre point de vue ;
le propre de l’orientation est qu’elle est consciente de cette perspective ;
Enfin, une fois de plus, le problème n’est pas moi, il me reste à donner du sens à la question puisqu‘elle doit en avoir

Lire les erreurs et le corrections
Délit de sale tête d’un résultat intermédiaire,

03 Rendre présent à l’esprit
Littéral
Le sens des ‘a’ et des ‘b’ sont déterminés par la définition que tu en donnes
Les arabes nous ont légué, outre les chiffres, l’algèbre et beaucoup de théorèmes.
ET par l’usage que tu en fais.
Imaginer la raison qui a conduit à la nommer avec cet indice, m, littéral.
Manipuler des lettres comme des nombres ?
On peut s’intéresser au sens propre de « un seul point » qui se distingue de « deux points d’intersection ».
Cependant, en français, l’ordre des mots peut être perturbé et nous sommes éduqués à rétablir :
« Belle marquise, d’amour, me font mourir, vos beaux yeux ».
Les mots, même en mathématiques, réfèrent ou « en citent » d’autres. L’écriture ne peut donc être une reproduction de la
langue parlée puisque aucune (ni l’écriture, ni la langue parlée) n’existe avant l’autre.
Le concept est donc exprimé tantôt par un dessin, un mots, une expression ou une définition.
De plus il existe des signes ou des pratiques d’écriture qui participent de la signification.
« Pour définir une « analogie », objet même des proportions,
on disait et écrivait aisément au XVIe siècle en traduction fidèle du grec : A est à B comme C est à D.
A contrario du lecteur empirique, prenant le texte au pied de la lettre, le lecteur modèle possède la capacité, grâce à son encyclopédie,
de remplir les blancs au meilleur de sa connaissance et ce, en fonction de son bagage social,
encyclopédique et des conventions culturelles.
Les signes peuvent être des traces, comme des empreintes laissées par un animal,
des symptômes, des indices, des signes ostentatoires,
des répliques (comme les instances d’un vecteur) ou des inventions.

Lecture littérale. Sens figuré.
La traduction, certes, le sens figuré est à mobiliser souvent,
commencer par prendre le texte au pied de la lettre est parfois salutaire.
Le mot n’est pas la chose.
Signes, vocabulaire (suite, termes…)
Discerner dans l’énoncé les mots significatifs
Egalité et équivalence
les mathématiciens redoutent les quiproquo.
Réaliser de quoi on parle.
La reformulation volontaire conduit à rendre présent

Réaliser, ne pas passer à côté, c’est lire latéralement et non pas littéralement,

le sens propre et le sens figuré
On passe d’une idée à l’autre, par le contexte, par la similitude par la représentation graphique,
le changement d’écriture, de formulation, le point de vue ….
Changer de perspective

Faire un dessin un graphique
Réaliser par un dessin
Trraduire, faire des liens pour s’attacher les connaissances et les rendre familières.
Traduire le dessin de la droite par une équation pour être en terrain d’entente,
La fonction existe-t-elle ? Pas plus que Sherlock Holmes ou Harry Potter.
La possibilité de lier le dessin et le texte, facilite la mémorisation.

p. 156 Que ces penseurs s’opposent ostensiblement entre eux ne doit pas dissimuler, en effet, combien il faut d’abord s’entendre, en amont, pou pouvoir s’opposer — ce que j’ai appelé un « fonds d’entente » de la pensée. S’opposer suppose un champ où du vis-à-vis puisse s’organiser, nest envisageable que dans le cadre d’un possible déjà esquissé. « Dans toute discussion (réfutation), il y a de l’indiscuté (irréfuté) », disait Zhuangzi, c’est-à-dire qu’il y faut un indiscuté partagé — qu’on ne songe pas à discuter — à partir duquel seulement on peut discuter et se réfuter.

Lorsque j’entends Sacha enfoncer une touche de son orgue, je suis incapable de reconnaître la note. Je ne suis pas indifférent au fait d’avoir l’expérience su son, mais ma formation musicale ne me permets pas de d’identifier le do de la troisième octave tant que Sacha ne me le dit pas. Je l’entends sans l’entendre comme un « do de la troisième octave ». La question, pour l’instant, devient : est-il possible d’avoir conscience sans les mots ?

Si c’est par le correct usage des règles d’une langue que les individus se comprennent mutuellement, Et que la machine interprète des signes linguistiques et mathématiques selon des règles grammaticales, Alors, une machine réalisant une correcte analyse logico-grammaticale des phrases d’un texte en comprend-elle le sens ? À première vue, c’est un magma, un tohu-bohu qui nous semble étranger.
Bakhtine distingue le roman d’épreuve et le roman d’éducation. […] Dans le « roman d’éducation » […] le héros rencontre, comme dans le « roman d’épreuves », une série  d’obstacles, mais ces expériences successives entraînent une transformation de sa personnalité. […]

Le Père Goriot et le roman d’éducation,  Emmanuel Quérouil Bordas
Il y a de l’insaisissable : (La fin aussi enthousiasme)

Le pinson (Catherine Arditi)

– tout d’abord savoir le type de contrôle : est-ce un contrôle facile et long où il faut aller vite, ou au contraire court mais difficile, où il faut bien prendre le temps de rédiger et de tout justifier dans les moindres détails.

– regarder les différents exercices et leurs difficultés. Si tu vois que le 1er exercice est dur et qu’au contraire le dernier est facile et que tu peux le faire rapidement, il serait dommage de commencer par le 1er exercice et risquer de ne pas avoir le temps de faire le dernier où tu peux avoir des points…
En regardant rapidement les exercices, tu peux élaborer une stratégie quant aux exercices que tu vas faire.

– voir les dépendances entre les exercices. Si tu vois que le 2ème exercice utilise des résultats à trouver dans le 1er, il serait bête de commencer par le 2ème…

– te donner une direction et te motiver. Si tu commences quelque chose sans savoir où tu vas, où cela s’arrête, ce n’est pas très motivant. A l’inverse, si tu connais le nombre d’exercices, le type de questions, etc… cela te motivera et te poussera à rédiger vite et bien. D’autant plus que si tu as travaillé sérieusement, tu devrais trouver des exercices et des questions que tu as déjà faits ! Et tu sais donc qu’en lefaisant tu auras une bonne note

– savoir comment répartir son temps. Regarde les points attribués à chaque exercice (ou demande les au professeur s’ils ne sont pas marqués). Tu sauras alors combiende temps accorder à chaque exercice. Si le 1er est sur 2 points et le 2ème sur 10 points, il serait bête d’accorder autant de temps aux 2 exercices…
Ainsi tu sauras approximativement le temps que tu dois passer à résoudre un exercice en fonction du temps du devoir, ce qui te permettra de savoir au cours du contrôle si tu es en retard ou pas.

Certains se lancent tête baissée dans le contrôle sans prendre la peine de le lire, pensant que c’est une perte de temps, alors qu’au contraire c’est un moyen de mieux le gérer et donc d’en gagner 

Ne pas perdre de temps

Gérer son temps signifie aussi ne pas en perdre.

 

De même pour les questions difficiles, si au bout de 5 minutes tu n’as toujours pas trouvé et que tu sais que tu vas passer encore beaucoup de temps dessus, saute-les, tu y reviendras plus tard.
En effet, passer 10 minutes sur une question qui généralement rapporte entre 0.5 et 2 points (et encore il faut que tu aies trouver la solution^^), c’est moins rentable que de passer 10 minutes à faire 5 questions faciles où tu sais que tu auras les points.

Evidemment il ne faut pas sauter une question dès que tu ne connais pas la réponse immédiatement, il faut chercher un minimum, mais au bout d’un certain temps tu peux deviner plus ou moins si tu arriveras à résoudre cette question ou pas.

Attention cependant ! Il est parfois nécessaire de résoudre certaines questions pour faire les autres. Il faut donc faire ces questions si tu veux faire la suite. Mais généralement la solution est donnée et tu as juste à la montrer.
Si tu n’y arrives pas, tu dis dans les questions d’après « on suppose que… », ou « d’après la question 3), … ».

Attention aussi à ne pas faire que les questions faciles de chaque exercice et laisser toutes les questions difficiles. Le professeur aura l’impression que tu essayes de « gratter » des points par-ci par-là et pensera que tu n’as pas assez travaillé…
Essaye de faire au moins 1 ou 2 exercices en entier et de faire le maximum de questions (voire la totalité) sur les autres exercices.

Savoir lire un énoncé

Cela peut paraître stupide, mais pour répondre correctement une question, il faut déjà la comprendre ! !
Si ce n’est pas le cas, essaye de la reformuler, d’écrire ce qu’il faut montrer…

Mais savoir lire un énoncé, c’est aussi et surtout savoir lire les INDICES donnés par l’énoncé ! !
Cela correspond principalement à savoir analyser l’enchaînement des questions.
Prenons un exemple ce sera plus simple ! Imaginons que l’exercice 1 soit découpé de la façon suivante :

Exercice 1
1)
a)
b)
c)

2)
a)
b)

3)
a)
b)
c)

La question 1 est découpée en a, b, et c. Il y a alors 99 % de chances que la c utilise la a, la b, ou les 2 ! ! Sinon on aurait mis la question c dans une autre question…
De même, il est possible, mais pas obligatoire, que la question b utilise la a.

De la même manière, la 2)b) utilisera la 2)a), et la 3)c) utilisera la 3)a) et/ou la 3)b).

De même, la question 3 utilisera la question 1 et la question 2.

En conclusion, la dernière sous-question d’une question utilise les sous-questions précedentes (a, b, c…), et la dernière question utilise les questions précédentes (1, 2…).
Bien sûr cela est une règle générale, il est possible que toutes les questions soient indépendantes mais c’est plutôt rare…

Il est parfois marqué explicitement : « en déduire que… ». Là c’est assez clair, mais quand ce n’est pas marqué et que tu bloques à une question, utilise ce qui est marqué ci-dessus en regardant les questions sucspetibles de t’aider.
Par exemple, si tu es bloqué à la 1)c), regarde la 1)a) et la 1)b), ça peut te donner des pistes de réflexion 

Inversement, il arrive que dans les questions qui suivent, on te donne des indices.
Dans la partie A on te demande par exemple de trouver une fonction f, puis dans la partie B on te dit : on pose f(x) = 3x + 2.
Il y a alors de fortes chances pour que la fonction cherchée dans la partie A soit la même^^ Cela peut t’aider si tu bloques.

Vérifier la cohérence des résultats

Quand on a trouvé un résultat, il est toujours bon de vérifier si ce résultat est cohérent.
Pourquoi ?
Parce que si ce n’est pas cohérent, c’est sûrement faux… et il faut donc revoir les calculs et le raisonnement pour trouver où est l’erreur.
Le problème évidemment, c’est comment vérifier que c’est cohérent ! !

En physique c’est plus facile car les résultats ont souvent une application concrète, on calcule par exemple la vitesse d’une voiture, la hauteur d’une arbre, etc…
Ainsi, si tu trouves qu’il faut 5 minutes à une fusée pour aller sur la Lune, il y a sûrement une erreur… de même si tu trouves qu’il lui faut 1000 ans…

En physique, il est également facile de vérifier par rapport aux unités, car dans une équation, l’unité est la même de part et d’autre du signe « = ».
Par exemple, si t est un temps et v une vitesse, on peut avoir t =3s, mais pas v = 3kg…

En mathsc’est un peu plus complexe, ça dépend des exercices. C’est souvent par rapport à l’enchaînement des questions.
Par exemple on demande de trouver une fonction f, et après calculs tu trouves f(x) = 8x2 – 4x + 7, et plus loin dans l’énoncé il est dit « on pose g(x) = 8x2 + 4x + 7″.
Et bien on voit que c’est preque la même fonction, à part le – et le +. Donc on se dit qu’on a sûrement fait une erreur et que l’on aurait dû trouver +4x et non -4x.
Il faut alors reprendre le calcul et trouver d’où vient ce « -4x », car l’erreur se situe à ce niveau là.

Ici on a prit l’exemple d’une fonction à trouver mais on peut faire cela avec pas mal de choses (tableau de signe…).

De même, quand on résout un système ou que l’on cherche les racines d’un polynôme, il est toujours bon de remplacer les solutions que l’on a trouvé dans l’expression initiale pour vérifier que l’on ne s’est pas trompé.
Par exemple, si on résout x2 + 2x – 3 = 0 et que l’on trouve x1 = 1 et x2 = 3. On remplace :
12 + 2 × 1 – 3 = 1 + 2 – 3 = 0 : pas de problème.
32 + 2 × 3 – 3 = 9 + 6 – 3 = 12 : 

Donc le 3 n’est pas solution, il y a une erreur et il faut donc reprendre le calcul de x2

 

Comme d’habitude, c’est à toi de trouver ce qui te convient le mieux, il est possible que tu arrives très bien à gérer ton temps sans regarder l’heure et qu’une montre te stresse plus qu’autre chose.

Il faut que tu analyses les problèmes que tu rencontres lors des contrôles et que tu utilises les conseils ci-dessus pour les résoudre. A toi bien sûr de les adapter à ta situation et aux différents contrôles, le temps ne se gère pas forcément de la même façon lors d’un devoir

 

Garder à l’esprit.

.. pour le contrôle de samedi indiquer explicitement les éléments :

Soit x = (on peut choisir la vitesse de Sylvain tout aussi bien que celle de Sylvette)

L’aire du rectangle ABCD = 6 * 10

 

….Trouver la relation d’égalité ou d’inégalité plutôt que d’errer à la recherche de l’équation Au brouillon :

 

Le temps de parcours de Sylvain égale  le temps de parcours de Sylvette – 45 minutes TS1 \textcolor{red}{=} TS2 - 3/4

 

ensuite on traduit : Le temps de parcours de Sylvain égale \boldmath{54 / x}. … Ici égale est une définition de la vitesse de Sylvain.

Prendre garde aux unités (45 minutes = 3/4 d’heures)

Préférer les fractions aux décimaux (3/4 est plus maniable que 0,75). Simplifier les équations dès que possible :3x^2 + 18x -1296 = 0 est plus simple à résoudre que :  \frac{3x^2}{4} + \frac{9x}{2} -324 = 0

Être soupçonneuse et vérifier avant de se lancer dans les calculs : (x -5) ne représente pas un écart de vitesse de 6 km/h entre S1 et S2. La vérification est du temps de gagné, pas du temps perdu, parce que déterminer l’erreur dans un long calcul est très coûteux en temps.

Toujours vérifier le résultat. 3 exercices avec des réponses correctes valent plus que 4 erronés. Faire des fiches de synthèses et les discuter avec des proches (parents, amis ….)

À contrario, il m’arrive d’avoir le sentiment de ne pas être comprise, que mon interlocuteur ne comprends pas ce que je veux dire, et pourtant je pense me comprendre suffisamment moi-même pour penser que c’est lui qui ne me comprends pas.

 

À la différence de la lecture rapide, du « surf » sur la toile, la volonté de comprendre suppose de lire avec un projet : pour que le texte « me  parle », « qu’est-ce que ça veut dire ? » est, souvent, la première pensée, et pas seulement devant un exercice de mathématiques. Parfois, nous disons « comprendre » sans trouver les mots pour le dire ou pour l’expliquer ; nous « comprenons » parfois ce que nous faisons ou ce que nous devons faire sans pouvoir en rendre clairement compte. Mes enseignants ont insisté pour que je prenne le temps de comprendre, « Ne soyons pas si pressé de tourner la page avant même d’avoir pris le temps de la lire », dit le prof de français. Il m’arrive, pourtant, assez souvent,  de mettre un terme aux explications en disant : « Ça va, j’ai compris, j’en sais assez, je n’ai pas besoin d’en savoir davantage pour saisir le point qui importe, celui auquel tu veux en venir celui qui me permet de faire ce que tu attends.»  Il me semble même qu’il est préférable de ne pas vouloir tout comprendre si je veux comprendre quelque chose.

Je vais,  malgré tout, quand cela sera possible,   noter au cours de l’année les méthodes qui me seront conseillées, ou même, celles que je découvrirais par moi-même.

J’ai gardé le souvenir d’une  sortie au château de Guédelon. Nous y avions passé un bon moment et cela nous avait sorti du train-train des exercices de résolution d’équation. Certains élèves disent : « je ne sais pas faire parce que je ne comprends pas ! » et le prof semble embarrassé comme s’il ne savait pas  comment expliquer ce qui est tellement évident, … pour lui.  On dirait que le prof ne comprend pas que les élèves  ne comprennent pas.

Je vais mettre à profit ce moment de révision pour me remémorer les conseils que j’ai accumulés au collège et l’année dernière.

Je commence la nuit. Je finis le matin. Et j’arrive deux fois dans l’année. Qui suis-je ? https ://zestedesavoir.com/tutoriels/735/les-equations/976_presentation-des-equations/4036_quest-ce-quune-equation/

Matière à penser L’objectif (mathématique) était de déterminer la somme : 5 + 15 + 45 + 135 + \ldots + 295245 Tu y as reconnu la somme des termes d’une suite géométrique de raison q = 3 et de terme général u_i = u_0 \times 3î exemple, si  i=4, u_4 = 5 \times 3^4 = 5\times 81 = 135 \times 3 = 405 Pour répondre, nous avons privilégié la compréhension de la synthèse vue cet été et l’interprétation des éléments de la question plutôt que d’abandonner faute de savoir « comment faire » Il est passionnant de constater que lire et écrire les mathématiques,  c’est penser et ne pas se contenter d’obtempérer et d’être obéissante ni même de s’exécuter.

Il est passionnant de constater que

lire et écrire les mathématiques,  c’est penser
et ne pas se contenter d’obtempérer et d’être obéissante
ni même de s’exécuter.
Garder à l’esprit

… pour le contrôle de samedi indiquer explicitement les éléments :

Soit x = (on peut choisir la vitesse de Sylvain tout aussi bien que celle de Sylvette) L’aire du rectangle ABCD = 6 * 10 ….

Trouver la relation d’égalitéou d’inégalité plutôt que d’errer à la recherche de l’équation

Au brouillon : Le temps de parcours de Sylvain égale  le temps de parcours de Sylvette – 45 minutes
TS1 \textcolor{red}{=} TS2 - 3/4

ensuite on traduit : Le temps de parcours de Sylvain égale\boldmath{54 / x}. … Ici égaleest une définitionde la vitesse de Sylvain. Prendre garde aux unités (45 minutes = 3/4 d’heures) Préférer les fractionsaux décimaux (3/4 est plus maniable que 0,75) Simplifier les équationsdès que possible : 3x^2 + 18x -1296 = 0 est plus simple à résoudre que : \frac{3x^2}{4} + \frac{9x}{2} -324 = 0 Être soupçonneuseet vérifier avant de se lancer dans les calculs : (x -5) ne représente pas un écart de vitesse de 6 km/h entre S1 et S2 La vérification est du temps de gagné, pas du temps perdu, parce que déterminer l’erreur dans un long calcul est très coûteux en temps. Toujours vérifierle résultat. 3 exercices avec des réponses correctes valent plus que 4 erronés. Faire des fichesde synthèses et les discuter avec des proches (parents, amis ….)

“Lire, c’est penser avec un autre,penser la pensée d’un autre, … ”― Émile Faguet

Inutile de lire ce livre maintenant. Le titre est déjà amplement suffisant
… parce que cela me revient à l’esprit :
Ne pas écrire « pour tout » x \in \mathbb{R} » sous prétexte que le prof l’utilise en classe ; résoudre une équation laisse supposer que x prendra certaines valeurs dans \mathbb{R} , mais possiblement pas toutes ! Donc reproduire servilement cette antienne conduirait à perdre des points !
Je commence la nuit. Je finis le matin. Et j’arrive deux fois dans l’année. Qui suis-je ? https ://zestedesavoir.com/tutoriels/735/les-equations/976_presentation-des-equations/4036_quest-ce-quune-equation/

 

 

 

Matière à penser L’objectif (mathématique) était de déterminer la somme : 5 + 15 + 45 + 135 + \ldots + 295245 Tu y as reconnu la somme des termes d’une suite géométrique de raison q = 3 et de terme général u_i = u_0 \times 3î exemple, si  i=4, u_4 = 5 \times 3^4 = 5\times 81 = 135 \times 3 = 405 Pour répondre, nous avons privilégié la compréhension de la synthèse vue cet été et l’interprétation des éléments de la question plutôt que d’abandonner faute de savoir « comment faire » Il est passionnant de constater que lire et écrire les mathématiques,  c’est penser et ne pas se contenter d’obtempérer et d’être obéissante ni même de s’exécuter.

Il est passionnant de constater que

lire et écrire les mathématiques,  c’est penser
et ne pas se contenter d’obtempérer et d’être obéissante
ni même de s’exécuter.

Garder à l’esprit


… pour le contrôle de samedi indiquer explicitement les éléments :

Soit x = (on peut choisir la vitesse de Sylvain tout aussi bien que celle de Sylvette) L’aire du rectangle ABCD = 6 * 10 ….

Trouver la relation d’égalitéou d’inégalité plutôt que d’errer à la recherche de l’équation

Au brouillon : Le temps de parcours de Sylvain égale  le temps de parcours de Sylvette – 45 minutes
TS1 \textcolor{red}{=} TS2 - 3/4

ensuite on traduit : Le temps de parcours de Sylvain égale\boldmath{54 / x}. … Ici égaleest une définitionde la vitesse de Sylvain. Prendre garde aux unités (45 minutes = 3/4 d’heures) Préférer les fractionsaux décimaux (3/4 est plus maniable que 0,75) Simplifier les équationsdès que possible : 3x^2 + 18x -1296 = 0 est plus simple à résoudre que : \frac{3x^2}{4} + \frac{9x}{2} -324 = 0 Être soupçonneuseet vérifier avant de se lancer dans les calculs : (x -5) ne représente pas un écart de vitesse de 6 km/h entre S1 et S2 La vérification est du temps de gagné, pas du temps perdu, parce que déterminer l’erreur dans un long calcul est très coûteux en temps. Toujours vérifierle résultat. 3 exercices avec des réponses correctes valent plus que 4 erronés. Faire des fichesde synthèses et les discuter avec des proches (parents, amis ….)

“Lire, c’est penser avec un autre,penser la pensée d’un autre, … ”― Émile Faguet

Inutile de lire ce livre maintenant. Le titre est déjà amplement suffisant
… parce que cela me revient à l’esprit :
Ne pas écrire « pour tout » x \in \mathbb{R} » sous prétexte que le prof l’utilise en classe ; résoudre une équation laisse supposer que x prendra certaines valeurs dans \mathbb{R} , mais possiblement pas toutes ! Donc reproduire servilement cette antienne conduirait à perdre des points !

p 553 Aux yeux de Wittgenstein, « comprendre » n’est
pas un terme à proprement parler polysémique, mais ses
emplois ne peuvent pas être pour autant ramenés à un seul,
supposé paradigmatique, ils sont bien plutôt unifiés par des
ressemblances de famille : « ‘‘Comprendre’’ aurait donc ici
deux significations différentes ? Je dirais plutôt que ces
formes d’utilisation du mot ‘‘comprendre’’ constituent sa
signification, mon concept du comprendre [des Verstehens] 3. »
Les exemples de compréhension que l’on trouve mention-
nés dans les Recherches philosophiques témoignent de cette
variété d’emplois : comprendre une phrase ou une expres-
sion, mais aussi comprendre un tableau ou un dessin (§ 526),
comprendre un thème musical (§ 527, 531), comprendre un
poème (§ 531), comprendre un sourire comme amical ou

[…]
p 554 hostile (§ 539). Dans ces différents cas – et en dépit de ces
différences –, la compréhension ne consiste pas en un vécu
intérieur, un Erlebnis, qui surviendrait à l’occasion de la vision
du sourire ou de l’audition de la phrase, même si de tels vécus
peuvent parfois accompagner celles-ci. La grammaire de
« comprendre » est très proche de celle d’une capacité : « la
grammaire du mot ‘‘savoir’’ est à l’évidence étroitement
apparentée à la grammaire du mot ‘‘pouvoir’’, ‘‘être capable
de’’, mais aussi à celle du mot ‘‘comprendre’’. (‘‘Maîtriser’’
une technique) 1 ». L’attribution d’une capacité à quelqu’un
dépend de critères grammaticaux qui varient en fonction de la
capacité en question. Au sens que Wittgenstein donne à ce
mot, des « critères » sont ce qui nous justifie à affirmer dans
un contexte donné que nous possédons cette capacité 2. Or,
dans le cas de la compréhension, ces critères sont divers. Par
exemple, pour savoir si quelqu’un a compris comment déve-
lopper une suite à partir de son expression algébrique, on ne
l’interrogera pas pour savoir s’il a expérimenté en lui-même
un « vécu de compréhension », mais on lui demandera de
développer d’autres suites, c’est-à-dire d’appliquer une règle
à d’autres exemples. Ainsi, « l’application demeure un critère
de la compréhension 3 ». Mais il existe d’autres critères : pour
savoir si une personne a compris un poème, par exemple, on
peut lui demander de lire les vers à voix haute en y mettant le
ton juste 4. Dans d’autres cas encore – comprendre une
phrase d’une langue étrangère –, les critères seront l’aptitude
à traduire, à paraphraser, ou à réagir correctement à cette
phrase. Mais il en ira différemment pour la compréhension
d’une phrase musicale ou d’un poème : « Nous parlons de la
compréhension d’une phrase au sens où cette phrase peut
être remplacée par une autre qui dit la même chose, mais
aussi au sens où elle ne peut être remplacée par aucune autre
(pas plus qu’un thème musical ne peut l’être par un autre) 5. »

p 557 Nous appelons « signification » ce sur quoi porte la com-
préhension. L’analyse grammaticale de la compréhension en
termes de compétence ou de capacité va de pair avec une
analyse de la signification qui refuse de l’identifier à un objet
ou à une entité de quelque nature que ce soit.

p 568 Dans cette remarque, Wittgenstein attire notre attention
sur le fait qu’une généralisation de la notion d’interprétation
qui la fait coïncider avec celle de compréhension aboutit à
des conséquences désastreuses, et en réalité à une régression
à l’infini. En effet, si, pour comprendre une phrase d’une
langue que nous maîtrisons il fallait toujours interpréter
cette phrase, cette interprétation, qui doit elle-même se for-
muler dans des phrases, ne pourrait pas être comprise sans
plus, elle devrait être à son tour interprétée, et ainsi de suite. Il
en résulte que toute interprétation que nous donnons de
quelque chose doit pouvoir être comprise sans le recours à
une nouvelle interprétation, sans quoi rien ne pourrait jamais
être compris et rien ne pourrait jamais être interprété non
plus. compris et rien ne pourrait jamais être interprété non
plus.

p570 1) l’interprétation
possède toujours un caractère conjectural, elle consiste en
une « hypothèse » : « Quand nous interprétons [deuten], nous
faisons des hypothèses [Hypothesen] qui peuvent se révéler
fausses 3. » En vertu de ce caractère conjectural, il n’y a de
sens à parler d’« interprétation » que là où s’offre la possibilité
d’une pluralité d’interprétations – donc aussi de mésinterpré-
tations –, c’est-à-dire dans des contextes dans lesquels ce qui
doit être compris est ambigu, obscur ou indéterminé : pour
reprendre l’exemple précédemment cité, si les circonstances
ne laissent place à aucune ambiguïté, si quelqu’un brandit un
couteau sous mon nez dans une ruelle mal éclairée en me
demandant mon portefeuille, il n’y a pas de sens à lui dire :
« J’interprète ce geste comme un menace » ; 2) la distinction
entre compréhension et interprétation fait intervenir néces-
sairement une prise en considération des circonstances ;
3) tandis que « comprendre », à l’instar de « savoir », est de
l’ordre d’une capacité, « interpréter est une activité 4 » (Deuten
ist eine Handlung). Cette activité peut revêtir différentes
formes. Dans le cas d’un geste dont la signification nous est
p 571 obscure : relever des indices, noter des similitudes, faire des
conjectures, examiner leurs conséquences, déterminer parmi
celles-ci laquelle est la plus plausible, etc. Dans le cas de
l’interprétation d’un texte (situation que Wittgenstein n’ana-
lyse guère) : rechercher d’autres occurrences d’un terme,
confronter différents passages, noter une variante, reformuler
autrement le sens, s’assurer que cette reformulation n’est
pas contredite par d’autres passages du même texte, ou par
d’autres œuvres du même auteur, etc.

 

 

C’est, très probablement, le premier conseil proposé au débutant. On précise souvent de souligner les mots importants, de se rappeler ou trouver les définitions nécessaires. En effet, il n’est pas rare de passer à côté de l’important. L’évidence nous aveugle quand elle ne nous crève pas les yeux. plaisantait Gustave Flaubert dans son Dictionnaire des idées reçues (1913).

 

Comprendre c’est souvent traduire « mécaniquement », mais ce qui distingue le bon traducteur c’est évidemment qu’il ne se contente pas d’un simple mot à mot. L’exactitude ne suffit pas. Encore me faut-il pouvoir en faire usage, le mettre en œuvre, en tirer profit.

Avoir le projet de le comprendre, c’est d’abord de prélever les éléments utiles : Ai-je  bien lu ? Est-ce qu’aucun passage est passé sous silence ?

  •  
  •  
  • Commencer à faire un exercice en sachant  à l’avance ne pas savoir le résoudre correctement, c’est de la perte de temps.
    Deux exercices correctes  valent mieux que cinq exercices tous faux.
    Concentre-toi plutôt sur les exercices que tu sais faire (d’où l’importance de regarder le devoir en entier au début).
  • Se questionner sur la signification de ces parties ou sur ce qui est demandé ;
  • Regrouper et  classifier les idées importantes, les données essentielles.
  • Identifier les nouvelles informations
  • Résoudre l’exercice
  • S’assurer d’avoir tout fait ;
  • Vérifier le résultat : répond-il à la question ? Est-il cohérent ? Est-il correct ?
    • Vérifier si toutes les étapes sont franchies.
    • S’assurer d’avoir bien répondu  à la tâche ;
    • Vérifier la réponse ou relire la question ;
  • Phrase de conclusion bien écrite, qui montre qu’au-delà du calcul vous avez compris ce que vous faisiez.

 

Pas mal cette longue liste qui  m’a semblé convainquant jusqu’à l’année dernière, mais cette fois je me demande bien comment on « comprend les consignes » ou,  encore, quelle est l’utilité de « Relire ce qui n’est pas compris ou clair. ». Ces recommandations  ressemblent à de bonnes résolutions pour le nouvel an et j’aimerais bien les compléter avec des indications plus explicites.  Je vais tâcher d’approfondir la question pour mon TPE.

 

J’ai été embarrassée par les fonctions. En troisième, les fonctions linaires et affines  se réduisaient au vocabulaire : antécédent, image, abscisse,  ordonnée, droite, coefficient, ordonnée à l’origine, \pmb {f(x)= ax + b} … mais tous ces mots semblaient se fixer difficilement dans ma mémoire.
En seconde, j’ai été surprise de l’utilisation de différentes écritures :  \pmb { f(x) : x \longmapsto ax +b}, \pmb {y=mx +p}, et de dessiner d’autres graphiques :  parabole,  hyperbole,
 

 

L’année dernière, nous avons dessiné la parabole, et, de même qu’en fin de collège, il m’a fallu un certain temps pour me faire une idée de ce que c’est qu’une fonction : Un texte ? Une équation ? Un graphique ? Une balle que l’on lance en l’air ? Des paroles en l’air ? Voilà l’énoncé de l’exercice du jour :

Résoudre, dans \mathbb{R}, l’inéquation x^2 +x + 1 > 3

Le prof nous à remis un polycopié avec des espaces à remplir collectivement pendant le cours. J’ai été surprise par les expressions  « extérieur », « intérieur », « aux racines ». Je m’étonne de l’utilisation de certains mots que je connais dans d’autres circonstances : parabole, canonique, l’importance du problème, mettre le problème en équation, cardinal, comparaison, Étrange aussi ce sentiment que les mots ont leur signification de tous temps et d’ignorer leur histoire. Tu ne vas pas faire des histoires pour un ou deux mots ?  La réalité de ces mots me semble suspecte

En rentrant, j’ai repensé à ce mot « rapport » : quel rapport entre les trois chaises, les trois lits de Platon.  Il me semble que ce mot à partie liée avec ce que nous avons fait depuis la cinquième : nous avons travaillé le notion de fractions et nous avons effectué différents calculs de vitesse. C’est peut-être un peu la même chose pour la parabole, pour laquelle il y a une écriture, son équation, une représentation graphique, une idée, et de nombreux exemplaires qui ont plus ou moins tous la même forme, avec une seule bosse. Ce qui me laisse rêveuse, c’est la multiplicité des écritures de cette fonction, écritures qui se valent toutes at avec chacune leur intérêt :

  • La forme générale : f(x) =  ax^2 + bx +c
  • La forme factorisée : f(x) = a (x- x_1) (x - x_2)
  • La forme canonique : f(x)  = a(x -h )^2 + k

Je comprends qu’il soit utile d’écrire l’expression x^2 +x  -2 sous forme d’un produit de facteurs pour trouver la solution, mais pourquoi est-ce  convenable de l’écrire sous la forme \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4}

surtout quand il est question d’expression canonique. En recherchant un peu sur internet, l’adjectif canonique évoque quelque chose d’obligatoire et de normatif.
Mais il y a plus encore :

Du côté de la géométrie : Afin de nommer les trois types de coniques (courbes obtenues par la section d’un cône par un plan), les mots ellipse, hyperbole et parabole ont été formés à partir des mots grecs elleipsis, huperbolê et parabolê,  ( IIIè et IIè siècles avant J-C.).

Si S est le sommet de la parabole d’axe vertical, M un point de la parabole, N son projeté sur l’axe de la parabole, alors l’aire du carré de côté MN est égale à l’aire du rectangle de dimensions SN et SP = 2.

J’ai pu m’en assurer en déplaçant le point M sur la figure géogébra ci-contre.
Dans le cas de l’hyperbole, l’aire du carré est plus grande que celle du rectangle et dans le cas de l’ellipse, cet aire est plus petite. C’est ce qui donne le nom à ces trois courbes. La  parabole : similitude, jeté de côté.


 
+ substitution (allégorie et équation du 4e  degré)  : (x-5) (x +4) (x+7) (x-2)= 520
et changement de base de numération \overline{2665}^{\mathrm{sept}} = \overline{5A3}^{u} 
 
 
 
 
Pour commencer la suite, nous avons calculé quelques fonctions dérivées avec ce  moyen mnémotechnique :

notamment pour :

Tout cela pour…
… dire que les relations entre les objets sont largement aussi passionnantes
que les objets eux-mêmes. Cette remarque est aussi valable dans bien d’autres domaines.

On dérive, on prend la tangente ?

Exemple n°1
 
Premier problème :  f(x) = -x + 1
donc                         f(2) = -1
Lorsque x s’approche de  2, f'(x) s’approche de -1
Cela s’écrit :

\lim\limits_{x\rightarrow 2} f(x) = -1

On a D_f = \mathbb{R}}\setminus\lbrace{2}\rbrace}

La fonction a un « trou » pour x = 2. On dit qu’elle n’est pas continue !
pourtant si l’on s’approche  de 2 on peut dire :

 \textbf{Exemple n°3} \begin{tabular}{llll} Soit la fonction $f$ & $\mathbb{R}$ & $\longrightarrow$ & $\mathbb{R}$ \\ & $x$ & $\longmapsto$ & $f(x) = \dfrac{2x^2 -x - 1}{x-1}$ \\ \end{tabular} \vspace*{.3cm} Il ne faut pas que $x-1 = 0 \Longleftrightarrow x = 1$. \\ $D_f = \left]-\infty \; ; \; 1 \right[\cup\left]1 \; ; \; +\infty\right[$ \\ On cherche $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ \\ $\lim\limits_{x \to 1} (2x^2 -x - 1) = 0$ et $\lim\limits_{x \to 1} (x-1) = 0$. \\ \vspace*{.3cm} Cependant, $f(x) = \dfrac{(x-1)(2x+1)}{x-1} = 2x+1$ si $x \neq 1$. \\ Donc $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} (2x + 1) = 3$ \\

Exemple n°4
Cette fois on regarde la fonction (rouge) définie par morceaux :

==================

Est-ce tout pour aujourd’hui ?
 
Si la curiosité te pique, tu peux prolonger ainsi :
Ce propos recèle un sous-entendu que je souligne :
s’approcher d’une limite présuppose une notion de temps
et le temps est un grand mystère ! Est-ce une variable ?
Ou ne serait-pas plutôt notre façon de parler
qui associe une variable réelle (en mathématiques) à …

Cmap le temps en mesure

La  carte mentale ci-dessus est issue du TPE de Sacha 

La vérité en mathématiques s’éprouve

Il y a quelques idées qui se mettent en place, et notamment des mots  :
– Rapport, tangente (de l’angle), taux d’accroissement, ..
– Primitive, dérivée
– Limite,  nombre dérivé
et
– Domaine de définition
– variations
– solutions, racine
– extremum (maximum ou minimum)
– signe
D’autre part, les relations entre ces mots  :
« Le signe de la fonction dérivée renseigne sur les variations de la primitive »
Et aussi les calculs qui  prouvent et précisent ces affirmations, pour

Voici le détail des calculs :
(On peut ajuster la taille des caractères avec la molette de la souris

[3d-flip-book mode= »fullscreen » id= »4446″][/3d-flip-book]

Un mathématicien est quelqu’un qui accepte la contradiction,
de façon plus humoristique :

« Pour faire de la philosophie, il est nécessaire d’avoir du papier et un crayon, pour les mathématiques, du papier, un crayon et une gomme. »

Tu ne te satisfait pas d’avoir 31/40 (ie 15/20) et tu vises 3 points de plus (18/20). Comment faire ?

Éviter les erreurs de calcul. Soit. « Je n’ai pas été assez attentive » dis-tu.
Le slogan est séduisant mais « Comment redoubler d’attention » ?

En ce qui concerne les suites, le vocabulaire est déjà une difficulté dont tu te préserves en grande partie.
Reste quelques ambiguïtés à lever pour augmenter la confiance dans tes connaissances.

  • « Cumulé » est plutôt utilisé, en mathématiques, pour les effectifs.
    En revanche, quand on calcule la « somme des termes consécutifs, ou successifs ».
    Il est vrai qu’en français, on utilise cumulé pour réunir un peu tout, les fonctions politiques, les intérêts financiers …
  • « Composé », pour ce qui concerne les suites et les fonctions mathématiques, consiste à assembler les calculs.
  • Par exemple tu peux composer une fonction parabole avec une fonction affine. Tu obtiens une fonction trinôme du second degré :

ou

Être attentif au sens des mots est-ce apprendre par cœur les définitions ?
Oui, mais cela n’est pas suffisant. Exemple :

outre que cela rend les choses confuses pendant un bon moment,
cela ne montre pas clairement si le nombre dérivé est unique
ou s’il peut en exister plusieurs pour un même point de la courbe.

C’est la raison pour laquelle la tradition orale est nécessaire.
Le commentaire conduit à comprendre, l’écrit ne suffit pas.

Si ta première préoccupation est le sens propre des mots, en math comme en français,
la seconde pourrait être « qu’est-ce que cela veut dire ? »

    • Une trace de patte dans la neige veut dire qu’un chat est passé par là.
      Mais cela n’a de sens que parce que quelqu’un regarde les traces.
    • Un thermomètre à alcool indique une température parce que l’artisan la construit ainsi,
      Cela n’a de sens que parce que l’artisan la construit ainsi et que quelqu’un observe le niveau.
    • L’exercice de math propose de résoudre une équation, par exemple, et cela n’a de sens
      que si l’on est sensible à ce qu’il veut nous apprendre.

Si l’exercice ne m’apprend rien alors il n’a pas de sens.

D’autre part, « Comment utiliser la correction pour progresser ? »

Il y a erreur ! 

Une erreur de calcul : (E) : 20 (v-2) + 20v -15v(v-2)

devient : (E_2) : 20v -40 + 20v -15v^2 +30

Cette erreur calcul coûte cher en temps de recherche au moment de la vérification,

en points ( note divisée par deux au minimum) …

C’est le commentaire (verbe intérieur) qui peut aider.

« Chaque fois que je multiplie, surtout par un nombre négatif, je verbalise le calcul, et je redouble d’attention. »

chi, va, piano, va, sano, e, va lontano. Il ne s’agit pas tant de ménager sa monture que de prendre garde, redoubler d’attention pour ne pas perdre de temps par la suite. Un exercice faux c’est un travail qui ne rapporte rien, sauf à servir d’expérience pour la suite. Est-ce que l’expérience n’est qu’un tissus d’erreurs ?

L’excuse : « Il faut que j’aille vite pour avoir le temps de finir » conduit à faire des erreurs. C’est une croyance fausse.

Si l’erreur du même type se reproduit de manière rapprochée comme :

\rightleftarrow 3x + x^2 + 3x -5x \textcolor{red}{+} 6

Le commentaire à biffer de son esprit est « Je fais toujours le même type d’erreur, je suis …»

Le plus utile consiste à étoffer son travail de commentaires destinés à augmenter l’attention.

« Chaque fois que je multiplie, surtout par un nombre négatif, je verbalise le calcul, et je redouble d’attention. »

C’est du temps de gagné.

Poursuivons. Une question se pose, « Est-ce vraiment utile de (se) parler ainsi ? » Bien entendu, il ne s’agit pas de « parler pour ne rien dire ». Alors quoi ? parler pour s’exprimer ? Pas seulement. Plutôt parler pour (se) dire des choses nouvelles. Parler pour (se) découvrir de nouvelles idées.

Soit. Mais comment ça, parler ?

Dans le Traité de l’argumentation de Perelman on trouve :

P 22-23 : « Les auteurs de communications ou de mémoires scientifiques pensent souvent qu’il leur suffit de rapporter certaines expériences, de mentionner certains faits d’énoncer un certain nombre de vérités pour susciter immanquablement l’intérêt de leurs auditeurs ou lecteurs éventuels. Cette attitude résulte de l’illusion, fort répandue dans certains milieux rationalistes et scientistes, que les faits parlent par eux-mêmes et impriment une empreinte indélébile sur tout esprit humain, dont ils forcent l’adhésion, quelles que soient ses dispositions. »

Il s’agit plutôt de faire parler ce que l’on donne à entendre comme dans ce texte de Platon (env 400 AVJC)

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Dans le dernier épisode, nous avions laissé

Rappels, depuis janvier, nous avons dit, entre autres et en vrac 80)

  • Pour voir loin, il faut regarder de près
  • Penser par moi-même ce n’est pas faire l’idiot seul à se comprendre
    mais bien plutôt se mettre à la place de l’autre et imaginer sa réponse.
  • Faire des parallèles (ici les corrections du profs et tes remarques)
    est un bon révélateur
  • Attention à rédiger ta réponse. Un nombre, en guise de réponse, ne suffit pas.
    Il faut expliciter la démonstration qui mène à la valeur obtenue
  • Il existe un plan d’étude des fonctions (domaine de définition, variations …)
  • Gardons à l’esprit qu’il s’agit de rassembler différentes façons de se faire une idée
    de ce qu’est telle ou telle fonction (parabole, hyperbole, ….)
  • Souvenons-nous que ce n’est pas la technique qui nous guide !
  • chi va piano, va sano e va lontano.
  • Faire un dessin
  • Reformuler en d’autres termes,
  • Faire des rapprochements avec des éléments ± connus
  • Partir de l’objectif (c’est l’objet du moment
  • Chercher les relations en observant (pas de tâtonnement)
  • Parmi les préjugés, repérons et évitons le désir de comprendre instantanément,
    alors qu’il est utile de prendre de temps de voir,
    puis le temps de comprendre
    avant de prendre le temps de conclure.
  • Les exercices nous apprennent des compléments du cours
  • De plus, les exercices nous font découvrir quelque chose de nous :
  • Nous avons des à priori (ex : vérifier est une perte de temps au contrôle, …) des croyances qui nous desservent,
    parfois, quand elles sont erronées ou trop vague (ex : il faut mettre au même dénominateur, il faut passer de l’autre côté…).
  • Gagner du temps consiste souvent à ne pas en perdre. Pour cela il est utile de s’assurer de ne pas être hors-sujet

 


Voici une citation qui explique, un peu, mon travail :

C’est à travers mon dialogue et mon entente avec autrui que je construis mon identité autobiographique jusque dans mon vécu sensible le plus singulier.
Ces études montrent qu’il faut aller au-delà de la conception classique
selon laquelle ce qui distingue la mémoire individuelle de la mémoire collective
est le fait que la première est intra-psychique et la seconde publique.

Ioana Vultur, Comprendre, Folio, 2017, p. 108.

Pour le dire de façon plus prosaïque, je considère que les mathématiques,
au même titre que les autres matières, outre le savoir et les connaissances,
fertilisent notre personnalité par les méthodes de travail et d’analyse et de synthèse.

Mais, de plus, le dialogue avec l’enseignant est l’occasion de connaître, pour l’élève,
un reflet de lui-même qui, dans le meilleur des cas, sera constructif.
Je m’y essaie.


 

Je retrouve en mathématiques des questions comme celles que pose la prof de français pour l’étude de texte :
sens propre, sens figuré, idées exprimées de diverses façons, compréhension, explication  de texte…
Bref, j’ai entrepris de garder à  l’esprit les conseils du cours de français pour le cours de math.

Le prof de français, tout autant que le prof de math, s’évertue à nous faire respecter la  lecture littérale, prendre le texte au pied de la lettre : Sola scriptura, ne pas passer à côté su texte. D’ailleurs, les mathématiques ne sont-elles pas le lieu où les mots ont un sens, et un seul ? Reste la question du sens figuré, par opposition au sens propre.

Pour dire les choses comme elles sont :

Ce deuxième  devoir a été, une fois encore,   l’occasion de prolonger ce qui est demandé depuis le collège : représenter par un dessin un texte écrit, faire une figure, figurer ? . Au collège, j’ai appris le calcul de l’aire des figures géométriques comme celle du  rectangle : S = l \times L, ou, celle du cercle, A = \pi \times r^2,

 puis, à la fin du collège, en troisième,  j’ai vu la représentation graphique des identités remarquables, et bien d’autres choses encore.
(a+b)^2 = \textcolor{blue}{a^2} + 2 \; \textcolor{DarkGreen}{ab} + \textcolor{red}{b^2} et non pas le carré d’une somme comme somme des  carrés


Lever le doute :

J’en ai parlé à Monsieur Bozons. Il m’a conseillé d’être attentif  au sens des mots, et notamment d’éviter de confondre les nombres et les chiffres ; dans la barre de recherche de son moteur de recherche, il a écrit « ceci n’est pas un nombre » et voilà le résultat (ici à droite). Bon, en se fatiguant un peu on voit un 2, mais je ne comprends pas ce qu’il vient faire ici à côté de la pipe. Il m’a fait remarquer, aussi, que sur les vieilles horloges le chiffre romain quatre s’écrit avec quatre bâtons et non pas  IV  comme je le croyais. Puis il m’a proposé différentes écritures du nombre quatre comme ici à droite. Bon d’accord, mais alors « quatre », c’est quoi ? Un nombre.Comme j’étais un peu perdue et qu’il s’agit de mots je suis allée questionner Madame Emerec notre de professeur de français. Pour elle « quatre » est un adjectif. « Et même, précise-t-elle,  un adjectif numéral cardinal ; tandis que quatrième  est un adjectif numéral ordinal. » Cela s’explique, ajoute-t-elle, parce « être quatrième dans l’ordre d’arrivée » indique l’ordre (ordinal) tandis que « les trois mousquetaires », même si leur devise est « Tous pour un, un pour tous »  le cardinal de leur ensemble est trois (Athos, Porthos et  Aramis)  mousquetaires du roi Louis XIII, avec d’Artagnan  soit un ensemble de  quatre éléments.   Et Papa d’ajouter que le cardinal des trois mousquetaires n’était pas trois mais Richelieu !

 

 
Cette semaine, maman a eu la bonne idée de nous accompagner au musée Beaubourg, dans le centre de Paris. Nous avons fait la visite de l’exposition permanente avec un vrai peintre très bavard.   Nous nous sommes arrêtés devant une chaise. Si, si, je vous assure, au musée on expose une chaise. Vous pensez peut-être qu’il s’agit d’un objet d’art qui porterait abusivement le titre de chaise, et non, voici l’objet (à ci-dessous). Bon, c’est à la fois de l’anglais et du français. Mais c’est de l’art moderne ! Voilà, si on vous demande ce qu’est « a chair » …    \fbox{ \begin{minipage}{8.5cm}\hspace*{5mm} {\bf chair} (tsh\`{e}re), n., chaise, {\it f.} ; si\`{e}ge, m. ; (of a professor) chaire, {\it f.} ; (of the chairman or president of an assembly) fauteuil, m ; (rail) coussinet, m. Arm- -- ; {\it fauteuil}. Une chaise est un type de si\`{e}ge, c'est-\`{a}-dire de meuble muni d'un dossier et destin\'{e} \`{a} ce qu'une personne s'assoie dessus. Un si\`{e}ge pour une personne sans dossier ni repose-bras est un tabouret ; pour plus d'une personne c'est un sofa ou un banc. \end{minipage}}
 

Le  peintre, qui nous accompagnait, a expliqué que « le mot n’est pas la chose » et que le texte affiché nous  permet de nous faire une idée, de rendre présente la chaise comme ici à droite. J’ai repensé à Alice au pays des merveilles : 

En effet, une chaise c’est plutôt comme ci-dessus. Pourtant quand je lis la définition, ou quand je dis le mot « chaise », j’ai l’impression que la chaise est présente. Notre guide ajoutait que la chaise présentée ici est « représentée ». Et il insistait sur le « re » de re-présentée. De plus, disait-il, le mot « chaise » dans la définition peut être utilisé de façon variable pour beaucoup de chaises différentes.

Et là, je me suis aperçue que la chaise à laquelle j’avais pensée n’était qu’une sorte de photo en noir et blanc. Bref, ce n’était pas une chaise précise. Alors que devant le tableau il y avait une vraie chaise, sur laquelle je pourrais m’assoir. Mais cela était interdit.  J’ai acheté la carte postale en sortant pour la mettre dans mon blog. « Laquelle des ces trois chaises est la vraie chaise, celle de la photo ? Sa définition ? Celle en bois ? » Donc, je peux m’assoir sur la chaise qui est une réalité à laquelle je suis sensible, comme dit Platon, la définition c’est un peu comme la réalité intelligible, je peux comprendre l’idée de chaise et la photo est une illusion artistique. « Est-ce de l’art,  ou pas ?  » ironise Papa, ce n’est qu’une photo, même pas une peinture !

Ensuite, le peintre  nous a parlé d’un tableau d’un peintre belge nommé René Magritte qui montre que,  même peinte de la manière la plus réaliste qui soit, une pipe représentée dans un tableau n’est pas une pipe. Elle ne reste qu’une image de pipe qu’on ne peut ni bourrer, ni fumer, comme on le ferait avec une vraie pipe. Je trouvais tout cela fascinant, et j’aimerais bien  connaître tout cela sur le bout des doigts.

Du côté de la rhétorique : Les noms des trois types de coniques désignent également des figures de style en rhétorique, en bonne adéquation avec leur étymologie : Une ellipse est une formule raccourcie. Exemple : « chacun son tour » au lieu de « chacun doit attendre son tour ». Une hyperbole est une formule exagérée. Exemple : « mourir de rire ». Une parabole est un récit allégorique, une image à comparer avec la réalité. Exemple : Les paraboles et les comparaisons approchent fort des métaphores, et ne diffèrent d’elles qu’en un seul point  BoileauLongin, Subl. ch. 31..
Les mathématiques se sont-elles inspirées du langage de la rhétorique er de la dialectique ?

Si cela existe, qu’est-ce que c’est, si c’est là, qu’est-ce cela fait ici ? Et depuis quand peut-on manipuler des lettres comme des nombres ?

Il est fort probable que l’expression et la formulation  des problèmes mathématiques a beaucoup évolué au cours de l’histoire. Dans les cours de français et d’histoire, j’ai appris que la rhétorique et la dialectique existaient dans l’antiquité, bien avant l’algèbre   et il est donc très probable que les mathématiciens, aussi  philosophes, se sont inspirés de la rhétorique pour faire des mathématiques.

D’ailleurs,  une petite recherche sur internet fournit :

L’invention, c’est la capacité à trouver des idées et des arguments

L’organisation, correspond à la manière dont vous allez assembler vos idées pour créer un discours cohérent. Ce dernier s’articule autour d’une argumentation parfaitement structurée soutenue par des connecteurs logiques explicites (« de plus », « au contraire », « d’autant plus que », « c’est pourquoi », « en admettant que », « c’est-à-dire », « par exemple »…), ou implicites (pauses, alternance des temps, succession logique d’arguments…).

Le « style » dans l’acception moderne du terme, implique l’utilisation d’images, de mots, de tournures de phrases et de figures de styles adaptés. Pour Cicéron, l’elocutio se caractérise par quatre qualités : la correction, la clarté, l’élégance et la pertinence. Le style employé (simple, moyen ou élevé) doit être adapté aux circonstances et au public.

On a vu au collège, avec les théorèmes de Pythagore et de Thalès, avec la résolution des problèmes que tout l’art consiste à poser le problème clairement et dans une forme qui facilite la résolution. L’art d’exposer clairement les problèmes, n’est-ce pas le propre de la rhétorique, de l’argumentation ?
Et la présence de termes appartenant aux mathématiques tout autant qu’à la rhétorique semble indiquer la direction de ma recherche.

Sur internet, j’ai aussi trouvé ce tableau dans lequel certaines figures de rhétorique sont classées avec ces quelques mots d’explication :

« Notons tout d’abord les transformations : adjonction, suppression, substitution et permutation.
Chacune de ces transformations peut se concevoir (c’est-à-dire s’interpréter) dans les domaines géométriques, analytiques, optiques et cinétiques.
Ainsi, une anamorphose sera comprise comme une opération de permutation dans le domaine cinétique, une transformation topologique comme une substitution dans l’ordre géométrique, etc.
[…] Prenons nos exemples dans l’Empire rhétorique (1977). Perelman distingue :
• Les arguments […]  qui vont de la partie vers le tout. Ainsi dit-on qu’il faut mettre de l’ordre en soi avant d’en mettre dans sa famille et en mettre dans sa famille avant d’en mettre dans l’état.
• Les arguments par inclusion qui consistent à rapporter un cas particulier à un cas plus général.
• Les arguments par liaison de succession. Ainsi, on argumente la valeur d’une action en faisant valoir les bienfaits de ses conséquences ou les malheurs auxquels elle nous permet d’échapper. […] »

Au cours de la résolution des exercices, je réécris les expressions en ajoutant, supprimant, substituant et commutant.
Il y a là une ressemblance troublante.

Loin d’être simple, cela pique ma curiosité et je pense tenir un bout de la pelote de fil rouge pour tenter une sortie de ce labyrinthe aux murs de mathématiques.

46. SignoSemio
sms
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Voilà l’énoncé de l’exercice du jour :

Résoudre, dans \mathbb{R}, l’inéquation x^2 +x + 1 > 3

Le prof nous à remis un polycopié avec des espaces à remplir collectivement pendant le cours. J’ai été surprise par les expressions  « extérieur », « intérieur », « aux racines ». Je m’étonne de l’utilisation de certains mots que je connais dans d’autres circonstances : parabole, canonique, l’importance du problème, mettre le problème en équation, cardinal, comparaison, Étrange aussi ce sentiment que les mots ont leur signification de tous temps et d’ignorer leur histoire. Tu ne vas pas faire des histoires pour un ou deux mots ?  La réalité de ces mots me semble suspecte

J’ai déjà noté quatre manières de formuler ce polynôme :
 \begin{tabular}{rl} f(x) &= ax^2 + bx +c \\ f(x) &= a (x -x_1) (x - x_2) \\ f(x) &= a \left[\left( x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac {b^2 -4ac}{4a^2}\right] \\ \multicolumn{2}{l}{\text{Si}\; S = x_1 + x_2 \; \text {et} \;   P = x_1 \times x_2 \; \text{alors}}\\ x² - Sx + P &= 0 \\ \end{tabular}

Et le plus remarquable, c’est que l’on peut traduire une expression dans une autre en respectant une marche à suivre.

Cette semaine, le prof nous a soumis un petit exercice :

   \sqrt{x (x-3)}  = \sqrt{3x -5}, Déterminer  la (ou les) valeur(s) de x qui vérifie(nt) l’égalité.

  • Analyse du problème :
    Puisque pour tout couple de réels positifs (a, b) \in \mathbb{R}_+^2, on a l’équivalence  \sqrt{a} \leq \sqrt{b} \Longleftrightarrow    a  \leq  b

si x est un réel tel que \sqrt{x (x-3)}  = \sqrt{3x -5} ; alors, en élevant au carré :
x (x-3)  = 3x -5 soit x^2 -6x +5 = 0

Inutile de faire des calculs compliqués, comme la recherche du discriminant, cela risque d’induire des erreurs de calculs et de dissuader de poursuivre. Il y a des racines évidentes puisque « a + b + c = 0 » ( encore :  faut-il y  penser ! )

\textcolor{red}{1} x^2 \textcolor{red}{-6}x \textcolor{red}{+5}  = 0 \textcolor{red}{a} x^2 \textcolor{red}{+b}x \textcolor{red}{+c}  = 0

Les réels x vérifiant cette relation sont 1 et 5.
Nous avons donc démontré que : « Si x est solution de l’équation x (x-2) = 3x -5 »  alors x = 1 ou x = 5.    « équation x (x-2) = 3x -5 » dénote (précise) que ce n’est pas l’équation initiale ! Le terme équation seul serait ambigu et laisserait supposer que les solutions conviendraient pour la première équation.
Je l’avais pressenti puisque je me disais « Je ne sais pas résoudre les égalités avec des racines. ».

  • Reprenons, nous n’avons pas démontré que les solutions du problème sont 1 et 5, mais uniquement qu’elles ne peuvent valoir autre chose. Il faut désormais tester chacune d’elles pour voir si elles conviennent effectivement : c’est l’objet de la synthèse.
  • Synthèse  : on remplace successivement x par 5 puis par 1 dans l’équation initiale, les calculs étant sans difficulté.
    Il est facile de vérifier que 5 est bien solution. En revanche, pour x = 1, l’équation semble n’avoir pas de sens : elle fait intervenir des racines carrées de nombres négatifs. Ainsi 1 n’est pas une solution.
  • Conclusion : 5 est l’unique réel qui vérifie l’équation \sqrt{x (x-3)}  = \sqrt{3x -5}

 

\sqrt{x (x-3)}  = \sqrt{3x -5}, expression pour laquelle on cherche la (ou les) valeur(s) de x qui vérifie(nt) l’égalité.  Quand je  relis ce travail que j’ai placé page suivante, je vois comme il est aisé de se laisser tromper par une lecture rapide : après avoir élevé au carré les deux membres de l’égalité, on résout un trinôme du second degré dont le discriminant est strictement positif ;  il y a donc deux solutions x=1 ou x=5.

Mais, là, patatras.  Il convenait  de limiter le domaine de définition à \mathcal{D} = [3, \infty [, \forall x \in \mathcal{D} La  réponse x = 1 est une solution qu’on ne peut pas accepter parce que   \sqrt{x (x-3)} et \sqrt{3x -5} avec x = 1  sont égaux entre eux et égalent  \sqrt{-2} et alors n’ont pas d’existence réelle. Lorsque les calculs sont embrouillés (par de longues expressions, par exemple) le domaine de définition ne devient explicite qu’au moment de la synthèse. La question sous-jacente est ainsi celle des implications et c’est là que la question « Pourquoi écrire \forall x \in, puisqu’il n’y a qu’une réponse ? » montre sa pertinence. L’expression \textcolor{red}{\forall x \in \mathbb{R}} se comprend quand on la rapporte aux implications, aux relations et non pas aux solutions !
Au total, comprendre ne suffit pas, en plus il me faut me conformer au style du prof et aussi m’assurer de l’efficacité à toute épreuve de mon résultat !

L’exercice supposait avoir bien intégré la définition des nombres réels. Et je pense avoir bien compris le cours de seconde concernant les ensembles.

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En fait, cela n’est pas si évident. Savoir placer un nombre dans le bon ensemble ne suffit pas. Encore faut-il,  le cas échéant,  penser à vérifier que la solution trouvée soit dans le bon ensemble. Pour le dire autrement, connaître le sens d’un mot c’est savoir s’en servir. La signification des l’adjectifs « entier », « naturel », « relatif » … consiste aussi à définir la signification par l’usage, par les procédures qu’ils mettent en jeu.