Sachant que ...

Mise à jour 2023-11-17 par Mathilde Ohm

Janvier

Nouveau chapitre, semble-t-il, la probabilité conditionnelle. La probabilité qu’une situation se réalise peut-elle être influencée par la réalisation d’une situation qui la précède ? Je viens de jeter trois dés, et je vois : « 421 » avec une probabilité égale à 22,811 %, ou plus précisément : $\dfrac{42571}{186624}$ Je relance les 3 dés, quelle est la probabilité de refaire « 421 » ? Ici, le deuxième jeté n’est pas influencé par le premier. Dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité d’obtenir un valet rouge ? $\dfrac{1}{32}$ Quelle est la probabilité de tirer un valet sachant que la carte est rouge ? $\dfrac{2}{16}$ soit $\dfrac{1}{8}$ Dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité d’obtenir un valet rouge sachant que je viens de tirer le valet de carreau et que je ne le remets pas dans le jeu ? Il ne reste plus que 31 cartes, donc, $\dfrac{1}{31}$ .

En revanche :

La probabilité que le footballeur marque le deuxième pénalty, sachant qu‘il a marqué le précédent est $\dfrac{2}{20}$ tandis que la probabilité que le footballeur marque le deuxième pénalty, sachant qu‘il a perdu le précédent est $\dfrac{1}{5}$ . La probabilité de marquer le deuxième pénalty est donc influencée par la réussite du premier tir. C’est spychologique (sic).

Pour ce qui est de tirer un deuxième valet rouge, l’influence n’est pas psychologique. C’est un tirage sans remise !

Sachant que, les connaissances étudiées sur les probabilités, dans les classes précédentes, sont considérées comme acquises, le chapitre va demander une attention particulière, notamment, pour être en mesure de clarifier la notion dépendance/indépendance d’événements (ce que tu appelais événements rattachés).

On peut schématiser ces situations par des arbres :

Et il est possible de calculer le nombre de feuilles terminales de ces arbres. Si un seul événement est à choisir entre 10 cas possibles (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j) et que ce choix peut être effectué deux fois successivement soit : aa, ab, ac …. ba, bb, bc, … ja, jb, …jj, cette énumération est semblable à la succession des nombres de 2 chiffres en numération décimale (base 10) soit 0 … 99 une centaine. Dans le cas d’un seul événement qui peut soit se réaliser (A) soit ne pas se réaliser (Ā), on énumérera en base binaire (base 2). En voici une illustration en 2 minutes :