20. Création d’un mythe fondateur

Quel contexte


Mise à jour 2023-11-17 par Mathilde Ohm
 03. Le bon sens des mots
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Novembre (semaine 48) L’idée de contexte est très importante. Un texte se situe dans une époque, un exercice de math se situe dans un chapitre.  Le chapitre c’est le contexte (méthode de potache, ça marche). C’est, aussi, la raison pour laquelle les découvertes se font à une époque plutôt qu’à une autre, par exemple les quantificateurs (\forall, \exists, \Box et \Diamond) de quand datent-ils ? ou, autre exemple, depuis quand utilise-t-on des fractions \dfrac{\textrm{numérateur}}{\textrm{dénominateur}} ? En ce qui nous concerne, c’est parce que nous avons établi l’identité du \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b, que nous pouvons calculer d’autres valeurs comme \sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right).

Même contexte pour la question suivante :

Pourrais-tu simplifier  \sin\left(2t +\dfrac{\pi}{2}\right) ?

Aujourd’hui, l’actualité c’est la projection d’un vecteur sur une droite :

 

Quelle est la question ? Quel est l’objectif ?  Question : Connaissant la mesure du segment [AB], c’est-à-dire norme ||\overrightarrow{v}||,                    on veut connaître la mesure du segment [A'B']   L’objectif sera de calculer le  scalaire      Gardons à l’esprit qu’il nous faut travailler avec des nombres, c’est-à-dire  des éléments sur lesquels on sait faire des opérations.  Dire qu’un vecteur est un sens, une direction et la mesure de sa norme,  n’est pas suffisant pour calculer.  On ne sait pas multiplier une direction,  par exemple.    Puisqu’il s’agit de vecteurs, rappelons qu’un vecteur n’est pas une flèche,  un vecteur est un ensemble de bi-points équipollents.  Le mot « équipollent » vient du latin aequipollens qui signifie « qui a une valeur égale ».)   Bi points = deux points. Reste à dire ce qu’est un point.
Depuis le collège un point est un couple de coordonnées comme M(x ; y)     Mais il a fallu attendre d’être en seconde pour dire que ||\overrightarrow{OM} = x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j}   On dit que le plan a pour base le point O et les deux vecteurs \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j},
ou, encore, que le plan (cartésien) est muni du repère \left( 0, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right).   La droite est caractérisée par une équation  cartésienne  c’est-à-dire que l’on  est capable d’écrire  …   … l’équation qui fournit les coordonnées des points M(x;y)  de la droite de direction \overrightarrow{u}, et passant par A.   Les vecteurs forment un angle \theta \left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right) qui peut être exprimé par une mesure comme 30^\circ , ±dfrac{\pi}{6} ou par une valeur associée comme  \sin (\theta) = \dfrac{1}{2} ou  \cos (\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} 


L’utilisation du théorème de Thalès conduit à comprendre que la mesure du segment A’B’, dont on cherchait la mesure, se calcule au moyen du produit \cos\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right) \times ||\overrightarrow{v}|| 

 

 

Nous serons conduit à définir le nombre appelé produit scalaire obtenu par l’opération 
u scalaire v  notée \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}  dont la valeur est obtenu 
par la multiplication : \cos \left( \overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \right) \times ||\overrightarrow {u}|| \times ||\overrightarrow {v}|| 
 
Traduire (thème ou version)  du français en mathématiques,  commence à demander une attention soutenue, 
sinon  : Traduttore, traditore
Les mathématiques concernent les nombres, les opérations … 
On ne peut donc pas se contenter de mots (direction, sens …) vagues et imprécis et pourtant : 

 

 

Penser globalement, agir localement.

  • La relation entre 2 vecteurs peut être caractérisée par un nombre. Ce nombre est obtenu par un calcul nommé produit scalaire.  
  • Il y a 3 façons d’effectuer ce calcul : 
  • Puisque ces 3 expressions traduisent la même relation entre les vecteurs, on choisit celle qui contient les éléments connus :

Connaissant les composantes des 2 vecteurs

connaissant les normes des vecteurs et leur angle :

connaissant les normes des vecteurs est celle de leur différence :

  • Penser globalement, c’est : ne pas lâcher l’énoncé, y revenir autant que nécessaire pour en extraire le sens. 
    repère          ⟹  équation de droites ou autres, norme des vecteurs de la base, ….
    (BH) ⊥ (AC)  ⟹  produit scalaire = 0, produit des coefficients directeur =  -1
    … 
  • Penser localement c’est définir le but : calculer les coordonnées  de H, 
    interpréter H comme intersection de droites ..
    … calculer les équations des droites
Je mets la rédaction en pièce jointe. 
 
J’ajoute que « le produit scalaire » est l’occasion de vérifier que, comme disait  John von Neumann, 
En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s’habitue seulement à elles.
 
Donc, il importe de manipuler le fichier géogébra ci-joint également. 
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