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Droite des milieux
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http://turing.scedu.umontreal.ca/annales/documents/volume%2011/SotoAndrade.pdf
http://internetactu.blog.lemonde.fr/2014/10/01/les-metaphores-aux-sources-de-la-pensee/
https://journals.openedition.org/esa/1881
http://www.ac-grenoble.fr/PhiloSophie/logphil/reperes/analogi2.htm
http://e-cours.univ-lr.fr/UNT/analogie/co/module_Contenu_17.html
https://mathantique.hypotheses.org/tag/proportion
https://hal.archives-ouvertes.fr/cel-01141364/document
https://maths.dis.ac-guyane.fr/IMG/pdf/proportionnalite_histoire-2.pdf
https://www.erudit.org/fr/revues/mlj/2015-v61-n1-mlj02390/1035386ar/
ci-dessous :
La proportionnalité a le « vent en poupe »… que voilà un bel euphémisme! Depuis son introduction dans le Code de procédure civile, le principe de proportionnalité a envahi le droit et les esprits avec une aisance déroutante (art 4.2 Cpc). Cette situation devrait encore s’accentuer avec l’adoption du nouveau Code de procédure civile, qui fait de la proportionnalité une véritable « philosophie ». Seulement, ne dit-on pas que derrière toute réussite se cache un chemin? Ceci se vérifie merveilleusement pour la proportionnalité. Du Code d’ Hammourabi au droit administratif prussien, en passant par les Anciens et le Siècle des Lumières, la proportionnalité imprègne le droit depuis la nuit des temps — quoique sous des appellations variées et voilées.
https://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1994_num_47_2_1207
http://serge.mehl.free.fr/anx/proportionnalite.html
https://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1994_num_47_2_1200
Double proportionnalité
J. MOLINO
Université de Provence Aix-en-Provence
MÉTAPHORES, MODÈLES ET ANALOGIES DANS LES SCIENCES
Langages, 12ᵉ année, n°54, 1979. La métaphore, sous la direction de Jean Molino. p. 86 Le noyau est un soleil (métaphore) ; le noyau entouré de ses électrons est analogue au soleil entouré de ses planètes (analogie) ; le système solaire est un modèle de la structure atomique (modèle). Une autre stratégie d’enseignement consiste à procéder à partir d’un exemple, dont on dégage ultérieurement la structure abstraite : ici encore, il y a modèle (l’exemple est, au sens logique, modèle de la structure), analogie et métaphore (au sens d’extension et restriction des significations). Dans les deux cas, la démarche consiste à procéder, non du même au même, ni du même à l’autre, mais de l’analogue à l’analogue, du semblable au semblable. […]
La majeure partie des termes scientifiques a une origine figurée : corpuscule, particule, champ, onde, énergie, inertie, polarité, affinité, réflexe, cellule… Les mathématiques elles-mêmes n’échappent pas à la règle ; citons seulement : boule, pavé, treillis, recouvrement, partition, géodésique, enveloppe, etc. Il s’agit d’un problème de néologie lexicale : comment donner un nom à une notion nouvelle ? Le problème est analogue à celui que nous venons de rencontrer dans la didactique des sciences : p. 87 le nom établit un lien entre l’ancien savoir et le savoir nouveau où s’insère le concept original. […]
p. 89 La situation générale de la théorie physique était la suivante : en amont, le langage formalisé des mathématiques ; en aval, le langage verifiable de l’observation et entre les deux le langage ambigu de l’interprétation sémantique et des concepts théoriques. Analogie et métaphore semblent n’avoir aucune place dans un édifice où les deux piliers sont constitués par des langages, langage mathématique et langage d’observation, où en principe transferts de sens et représentations figurées sont exclus. […]
Pour analyser l’analogie, nous partirons d’ARISTOTE. chez lequel se trouvent présents tous les éléments du problème. Le point de départ de la réflexion d’ARISTOTE, et le modèle — si l’on nous permet d’employer ce mot non encore défini — de sa conception de l’analogie sont fournis par la théorie mathématique de l’analogie, c’est-à-dire de la proportion, théorie édifiée par EUDOXE et dont il est assuré qu’ÀRISTOTE la connaissait. Cette théorie, qui a permis à la mathématique grecque de triompher de la crise ouverte par la découverte des irrationnels, est exposée dans le livre V d’EUCLIDE ; elle vise à construire une théorie générale des proportions, valable aussi bien pour les nombres rationnels que pour les grandeurs irrationnelles. Cette validité générale est assurée par la définition 5 du livre V « Quatre grandeurs sont dans le même rapport deux à deux, la première par rapport à la deuxième et la troisième par rapport à la quatrième, lorsque n’importe quels communs multiples de la première et de la troisième sont en même temps plus grands, égaux ou plus petits que n’importe quels communs multiples de la deuxième et de la quatrième, ou, \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} si et seument si m\times a \build\hbox to 0.5mm{=}_{>}^{<} n\times b implique m\times c \build\hbox to 0.5mm{=}_{>}^{<} n\times d. » Il est donc possible maintenant de mettre en rapport des grandeurs irrationnelles, mais aussi d’utiliser l’analogie de manière purement formelle, indépendamment du domaine considéré : un rapport analogique peut être établi entre des longueurs et des surfaces, entre la surface de cercles et la surface de carrés. La proportion permet d’organiser le monde des grandeurs au-delà des limites du genre. En biologie, ARISTOTE utilise deux types d’analogie, que l’on appellera avec NAGEL analogie substantielle et analogie formelle. Dans le premier cas, il s’agit de propriétés communes possédées par les parties d’individus appartenant à des espèces différentes : l’os de la seiche, l’arête et l’os ont en commun la nature osseuse [Seconds Analytiques, 98a]. Dans le deuxième cas, il y a identité ou ressemblance de la relation qui unit les parties entre elles au sein de plusieurs espèces : l’écaillé est au poisson ce que la plume est à l’oiseau, l’os est à l’homme ce que l’arête est au poisson [Parties des animaux, 644]. On représentera la première forme d’analogie de la façon suivante, A_1(x), A_1 (y), etc., représentant les propriétés de deux êtres x et y :

    \[\displaystyle  A_1(x) B_1(x) ...\xlongleftrightarrow[\text{d'analogie}]{\text{Relation}} B(y) C(y) ...\]

L’analogie repose sur la possession d’une propriété Bj commune. L’analogie formelle sera représentée de la façon suivante, xl5 x2, yi, У2, etc., représentant les parties de deux êtres appartenant à des espèces différentes entre lesquelles existent des relations r_1 et r_2.

    \[\displaystyle  r_1 \begin{matrix}x_1\\ \\x_2\\ \end{matrix} \Bigg\updownarrow \xlongleftrightarrow[\text{d'analogie}]{\text{Relation}} \Bigg\updownarrow \begin{matrix}y_1\\ \\y_2\\ \end{matrix} r_2\]

p. 90 L’analogie se fonde ici sur l’identité des relations rj et r2. La forme la plus générale de l’analogie, qui inclut les deux précédentes comme cas particuliers, sera alors [HESSE, 1966] :

    \[\displaystyle  r_1 \Bigg\updownarrow \begin{matrix}A_1(x_1) B_1(x_1) & \xlongleftrightarrow{\text{Analogie}^1} & B_1(y_1) C_1(y_1)\\                                                        -------   &  \xlongleftrightarrow{\text{Analogie}^2} &  ------- \\                                                       A_2(x_2) B_2(x_2) &  -----  &   C_2(y_2) D_2(y_2) \\ \end{matrix}                        \Bigg\updownarrow  \begin{matrix}---\\ r_2 \\ --- \\ \end{matrix}\]

Dans le cas général, il est préférable de ne pas préciser la nature des relations r_1, r_2, etc., qui peuvent être quelconques. Une extension possible consiste à ne plus exiger l’identité des prédicats B_1(x_1) et B_1(y_1), ni l’identité des relations r_1 et r_2, mais seulement leur ressemblance : nous parlerons dans ce cas d’analogie faible, beaucoup plus large mais beaucoup plus floue. De toutes façons, la forme générale de l’analogie forte comprend la proportion mathématique comme un de ses cas particuliers, lorsque la relation entre x_1 et x_2 d’une part, y_1 et y_2 de l’autre répond aux conditions posées par la définition V. 5 d’EUCLIDE.
L’analogie et son rôle dans la métaphysique d’ARISTOTE posent un problème plus compliqué, parce qu’aux données ontologiques se mêlent des données linguistiques.
p. 91 La contradiction entre la classification générique et les possibilités de l’analogie explique pourquoi le raisonnement par analogie occupe chez ArISTOTE une place ambiguë. Les raisonnements par analogie consistent à induire, à partir de la connaissance des termes et du premier rapport, le second rapport, ou, à partir de la connaissance des deux rapports et de trois termes, le quatrième terme (de \dfrac{a}{b}=c?d. tirer le rapoort \dfrac{c}{d}: de \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{?}, tirer d) : c’est le raisonnement qu’ ARISTOTE appelle paradigme ou raisonnement par l’exemple {Premiers Analytiques, 68^b - 69^a) et que THÉOPHRASTE appellera syllogisme selon l’analogie, mais qui, pour ARISTOTE, n’est pas une forme légitime du raisonnement scientifique, car dépourvue de nécessité.
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