04. Questions à rebours

Sens non unique


Mise à jour 2023-11-17 par Mathilde Ohm
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Octobre (semaine 40)

Vendredi dernier, notre prof de math avait annoncé que la première semaine d’octobre, serait consacrée à étudier la trigonométrie.
J’ai décidé de mettre en pratique les conseils d’Irma Pince et de retrouver mes cours du collège.
Je me suis souvenue que le double de x dépend de x, c’est-à-dire que quand x grandit, son double grandit aussi.

Le cosinus d’un angle, lui, est  fonction de l’angle. Quand l’angle change, le cosinus de l’angle est modifié. Cependant, le cosinus n’est pas proportionnel à l’angle, quand l’angle augmente, son cosinus diminue.
Je me rappelle aussi qu’il est possible de calculer des distances ou des angles … selon que l’on connaît l’un ou l’autre.
D’autre part, je viens de comprendre qu’il s’agit de triangles semblables, dans une configuration de Thalès,
tant que l’angle \widehat{BAC} reste le même, le rapport des côtés
\dfrac {AB}{AC} =  \dfrac {\mathrm {adjacent}} {\mathrm {hypothénuse}} reste inchangé.

D’un autre côté, j’ai cherché une explication au mot sinus. Et j’ai été surprise d’apprendre, que c’est vers le xii^e siècle que les traducteurs latins des travaux arabes, prenant le mot jaib pour son homonyme désignant une cavité ou un pli dans un vêtement, le traduisirent par le mot latin sinus. Je m’attendais à origine latine.
Toujours est-il, qu’un angle est déterminé par son sinus, son cosinus ou sa mesure. De la même façon, la même suite (5 ; 21 ; 37 ; 53 ; 69 ; \ldots) peut être désignée par deux expressions, l’une explicite,  u_n = 5 + 16(n-1), l’autre par récurrence :  u_{n+1} = u_n +16.
Cela m’évoque les cours de français, les synonymes et autres figures de rhétorique.
En fait, je n’avais pas imaginé que le prof allait placer sinus et cosinus dans le cercle trigonométrique où nous avions placé le radian il y a quinze jours. 

Je retrouve le triangle ACB rectangle en C, comme en 4e, mais cette fois, avec l’hypoténuse AB qui mesure 1 (un rayon).
Puisque le cosinus c’est le rapport \dfrac {\mathrm {adjacent}} {\mathrm {hypoténuse}} = \dfrac {AC}{AB} et que l’hypoténuse mesure 1, le cosinus de \widehat {CAB} vaut la mesure du segment AC !
De même, le sinus de \widehat {CAB} vaut la mesure de BC

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Afin de mémoriser les calculs des rapports, notre prof nous avait appris le mot « SOHCAHTOA ».
Pour mémoriser les valeurs les plus courantes, au collège, nous avions associé ces valeurs et les doigts de la main. C’était avec des mesures en degré. Je vais actualiser avec des mesures en radian.
Enfin, puisque l’hypoténuse mesure 1, il est facile avec le théorème de Pythagore d’établir que :
\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Tout cela fonctionne, sans doute, mais je ne vois pas clairement de quoi il est question. J’étais parvenue à voir concrètement le radian au moyen du pendule ou de la distance Vienne-Calandula. Mais le rapport, le sinus, l’angle x, surtout si x est plus grand que 2\times \pi ? Cette difficulté à y voir clair me donne parfois l’impression qu’il y a un secret à percer, une énigme large à élucider.
J’interroge Monsieur Narthex en sortant de classe et il m’invite à retourner au théâtre Xanadu. Cette fois, il me propose de rencontrer Gizeh.
« Puisque tu en parlais la semaine dernière, je vais te conduire vers le sphinx. Mais, ajoute-t-il, ne va pas te méprendre, Gizeh, n’est pas son vrai nom. À dire vrai, je ne sais pas comment il faut l’appeler.
Gizeh est le lieu d’où il est originaire. C’est un sphinx. Un véritable sphinx ! Les énigmes sont sa spécialité. »
« Ne te fais pas prendre au pied de la lettre, commença le sphinx.
Un pas de côté, un pas de sens !  Le sens littéral est insuffisant. Il faut lire latéralement, dans la marge, ne pas rester sur place. Les mots sont bien utiles aussi à condition de ne pas se laisser « prendre au mot » ni de s’y fier aveuglément. Donne du sens à ta lecture.
Est-ce qu’un verre à  dents a des dents ? Est-ce qu’un verre à pied est destiné à faire un bain de pied ?
Puisque ce sont les mathématiques que tu interroges, dans \mathbb {Q} : \quad  \dfrac{2}{3} et \dfrac{4}{6} désigne le même nombre. Écrire + 8500 - 180x au lieu de 8500 - 180x pour mettre en évidence la composée «  multiplier par (-180) puis ajouter 8500 » : x \longrightarrow 180 x \longrightarrow 180 x + 8500 sont des écritures qui chacune dit plus que ce qui est écrit au sens propre.
Si tu t’en tiens à une lecture formelle, tu risques de passer à côté de l’essentiel ou de tomber à plat. Lis entre les lignes, comme si le texte avait été rédigé pour passer la censure. Cherche ce qui se cache, ce qui est dissimulé, invisibilisé, soustrait au regard.
Sinus et cosinus sont les germes d’un imaginaire qui t’attend.

Lorsque tu as appris les nombres proportionnels, tu étais loin d’envisager le coefficient directeur de la fonction affine découverte en troisième. Tu es un être humain, capable d’abstraction. Tu peux comprendre un concept distinct d’un objet matériel.
Observe les panneaux du code de la route. Celui-ci par exemple. Y vois-tu le nombre \dfrac{7}{100} qui est la tangente de l’angle formé par la route et l’horizontale ? Il y a là un bel amalgame de concret et d’abstrait, 

Mais attention, En math, il n’est pas question d’opinion (ce n’est pas,  venez avec vos convictions, vous vous ferez une opinion).
En revanche, le pays des mathématiques a ses coutumes, ses traditions et ses usages.

  • On effectue d’abord les calculs entre parenthèses.
  • Un trait de fraction joue le même rôle qu’une parenthèse.
  • […]
  • La longueur de la barre (au-dessus ou en dessous) délimite l’emplacement de parenthèses invisibles, aussi bien pour la racine que pour la division :
    \sqrt{b^2-4ac}= \sqrt{\left(b^2-4ac\right)} et \dfrac{ax+b}{cx+d} = \dfrac{\left(ax+b\right)}{\left(cx+d\right)} = \left(ax+b\right) \div \left(cx+d\right)

Que dire de {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \sin{\left( 2x \right)} / 2x \neq \lim_{x \rightarrow 0} \sin{\left( 2x \right)} : 2x}

L’art de dire ou de lire les symboles est un vaste champ de questions (et de travail potentiel) : « f(x) » se lit « f de x », « 2 \times (x + 3) » se lit « deux fois [petit silence] x plus trois », ou « 2 facteur de x plus 3 », ou « le produit de la somme de x et trois par deux ». Comment dire « (1 + x)2» sans ambiguïté ?
« \leq » peut se lire « inférieur ou égal à », mais parfois « inférieur », et peut se conjuguer à la lecture (« si a était inférieur à 0 » par exemple).
La lecture des fractions (« 3 septièmes », « 3 sur 7 »), des notations en géométrie (« \left[ AB \right] » se lit parfois « segment A B » ou plus simplement « A B »… comme « \left(AB\right) » ou « AB »)… n’est pas naturelle.

 

Est-ce que 5 + 3 = 8 est  la même pensée que 3 +  5 = 8  ?
Et 8 - 5 = 3 ?
En revanche, dans la multiplication,
5 \times 2 = 10 diffère de 2 \times 5 = 10
Ces deux écritures expriment une  la réalité concrète différente, est, bien  que l’opération produit soit commutative,  à gauche,  5 est un multiplicande et multiplicateur à droite.

Il me fallait rentrer et j’ai donc remercié Gizeh pour ces remarques. Tout cela me paraît marqué au coin du bon sens. Malgré tout, je reste inquiète, parce qu’il me reste à trouver, à apprendre les méthodes pratiques favorisant la découverte des multiples sens des énoncés.

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