Organisation des idées Mise à jour 2023-11-17 par Mathilde Ohm
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01 Se préparer
Il est donc légitime de réviser ce chapitre des suites dans l’idée
de se préparer à étendre les idées.
Méthodes apprises au collège
Polya
Poser le problème clairement
A. L’invention : (Trouver des idées) Lire c’est comprendre
Sola scriptura
Ne varietur
Préalable
avoir l’idée sans pour autant réussir à déterminer la valeur
on ne sait pas (encore !)
02 Incompréhension désir de comprendre.
Et je sais bien que dire mon incompréhension c’est aussi dire mon désir de comprendre,
d’être en pays de connaissances, de s’y retrouver.
Si l’on ne sait pas encore, cela ne saurait tarder.
Une idée qui résiste à se laisser rédigée.
Sentiment de confusion
Intention de trouver,
Termes jettent dans le désarroi
Alors qu’est-ce qui nous déroute ?
Inutile de renoncer au motif que cela ne veut rien dire,
quand bien même y aurait-il une coquille dans l’énoncé,
04 Douter
Traduire c’est parfois trahir (Square -> Place, Perimeter -> Champ).
Traduttore, traditore
Élucidation des énoncés, résorption des erreurs de compréhension systématiquement présupposées.
Erreur (Hors sujet) je n’ai pas répondu à la question.
Pour éviter de se perdre dans le flux des idées possibles, on retient ce qui est dans le sujet
et on rejette ce qui hors de propos.
La réponse passe à côté de la question, faute d’avoir préalablement
démasqué l’intention sous-jacente, l’objet implicite que manifeste l’exercice.
La question est plus importante que la réponse,
ou, pour le dire autrement, inutile de répondre à une question mal comprise ( mal formulée ? )
Le diable est dans les détails.
On examine les détails pour y déceler du sens.
Vérifier que les expressions sont bien formées.
Le soupçon diminue l’incertitude
Repérer les éléments sur lesquels la lecture accroche ou survol
On « bute » sur un élément, cette hésitation sert d’alerte
Skandalôn, dérouté par une cause extérieure à sa volonté.
Ce qui est refoulé du symbolique réapparaît dans le réel
Quelle était la motivation du prof
Refaire le parcours, même avec des données différentes,
en réactualisant le sens des lignes écrites est un outil précieux.
Gagner du temps consiste souvent à ne pas en perdre. Pour cela il est utile de s’assurer de ne pas être hors-sujet
du fait des erreurs et, parfois même, des erreurs de calculs pendant la vérification.
Ce qui permet de comprendre, et c’est ce qui nous importe,
c’est que le sens premier auquel nous avions adhéré n’était pas si clair.
C’est bien ce qui fait question qui conduit vers un éclaircissement ;
06 Rechercher Différents points de vue
Reformuler en d’autres termes,
Faire des rapprochements avec des éléments ± connus
Envisager un autre point de vue
Pour préciser et donner une consistance à l’idée, l’exprimer dans des termes utilisables.
Nécessité de trouver à qui parler.
Dans le travail en tête à tête, écrire à sa manière apporte le bénéfice de pouvoir être inventif.
Tout dépend de l’interlocuteur à qui l’on s’adresse.
Si la solution ne s’impose pas, envisageons d’autres associations.
Objet pensable, réserve la conclusion et dirige vers la comparaison et réalise la correspondance.
Gardons à l’esprit qu’il s’agit de rassembler différentes façons de se faire une idée
de ce qu’est telle ou telle fonction (parabole, hyperbole, ….)
Il s’agit ici d’utiliser 2 outils précieux : Le sens propre, d’une part,
l’idée contraire qui favorise l’élucidation.
Lâchons prise. Et essayons de nier l’expression pour observer les conséquences. A contrario, Supposons
Se mettre à la place d’autrui
C’est le commentaire mental qui précipite les erreurs.
Dire à haute voix une pensée qui passait par là. (Soliloque)
Cela est renforcé par les commentaires (soliloque, colloque singulier, aparté) qui accompagnent la re-création.
Soliloque de ce qu ine tombe pas sous le sens
Je ne sais ce que je pense qu’à la condition de l’avoir dit ;
Je ne peux discuter précisément que ce que j’ai écrit ;
Penser par moi-même ce n’est pas faire l’idiot seul à se comprendre
mais bien plutôt se mettre à la place de l’autre et imaginer sa réponse.
Soumettre au questionnement
(se) poser des questions systématiques
le dénominateur répond à la question de quoi,
Préférant le questionnement au vagabondage et au tâtonnement.
Ce sont les déductions qui conduisent vers l’objectif, pas le tâtonnement.
Trouver par le plus grand des hasards serait un entêtement stérile.
Sentiment d‘avoir tâtonné et d’obtenir un résultat difficile à reproduire et systématiser.
Rechercher une réponse au moyen de questions.
Le fondement ultime de l’argumentation réside dans la dualité question-réponse.
Une réponse, parce que réponse, renvoie au questionnement.
Une fois la question résolue, le renvoi au questionnement se fait par les questions qu’elle soulève.
En conclusion, nous avons fait un pas en avant :
Q : Comment passe-t-on d’une idée à l’autre ?
R : En posant des questions ?
Q : Quel genre de question ?
R :
Et si ce n’était pas …. (différence)
Autrement dit (similitude)
Et si l’on change ( de point de vue…)
En ajoutant ..
Exprimer autrement
Souvenons-nous que ce n’est pas la technique qui nous guide !
Comprendre c’est comprendre chaque fois autrement, chaque fois un peu plus.
Comprendre autrement, c’est comprendre mieux
Comprendre, traduire autrement, c’est mieux comprendre.
Rendre l’autre sens plus fort
Privilégions l’interprétation au tâtonnement.
Cette rédaction qui dénote une connaissance du fond de l’affaire,
souffre d’un enchaînement au sens assujettissement, plutôt
qu’un cheminement au sens de progression.
La parabole a été déterminée de façon pifométrique, et donc dépourvue de bonnes intentions
Pour traduire, commençons par observer
Voir autrement pour y découvrir un aspect insoupçonné,
Mettre en relief, à plat
Deux points de vue pour voir en stéréoscopie, pour ne pas tomber à plat !
Trouver des ressemblances et des différence
La similitude et la différenciation constituent le cœur de la pensée.
Intention de caractériser
Mise en scène, mise en sens et mise en acte
Ce qui accentue l’efficacité des mathématiques, c’est, notamment, la pluralité des expressions équivalentes qui
autorise la diversité des points de vue et le choix du regard pour élucider une question.
Intentionnalité, idée principale
07 Le canon
Accumulation de récits qui constituent un des mythes fondateurs
Un sujet qui semble connu
Le chapitre commence par une introduction ayant pour fonction d’établir un domaine,
un terrain communs partageables par l’enseignant et les élèves.
09 Tenir compte des acquis antérieurs
C’est en faisant un effort de remémoration que l’on renforce le souvenir
10 Utiliser des passages parallèles
Traduire, faire des liens pour s’attacher les connaissances et les rendre familières.
Interroger l’entourage … plutôt que de renoncer devant l’obstacle.
Faire des parallèles (ici les corrections du profs et tes remarques)
est un bon révélateur.
Comparer une chose à une autre ;
08 Commenter
L’intelligence du texte n’est pas immédiate et requiert le commentaire
« assert » en Python
Écrire les étapes explicitement, du moins pendant cette période d’apprentissage.
La répétition de cet écueil favorise l’identification d’une propension à vouloir faire vite.
S’il y a lieu de s’y reconnaître, encore faudrait-il ne pas s’y méprendre.
Ce n’est pas « tout moi ça », ce n’est qu’un pli, un habitus, dont on peut se départir.
Se méfier de soi-même, Cura ut valeas ! « Prends soin de toi, le souci de soi
C’est aussi s’épargner le placer par mégarde des embûches à ramasser.
Les écrits restent, eux, si les paroles s’envolent :
11 Faire une hypothèse
Assimiler, mettre au même niveau.
12 Pour débloquer : traduire, soit, mais comment traduit-on ?
De quoi est-il question ?
Et c’est là que se noue le point de capiton !
Descartes
Méthode cartésienne : Évidence, analyse, synthèse et révision.
Doute méthodique.
Penser demande d’introduire une méthode.
Dichotomie
Dichotomie avec Mirouf
Python
Recherche par dichotomie avec un programme Python :
Faire de l’écoute active
Faire jouer les articulations
passés d’une idée à l’autre sans effort
Articuler les questions successives et faire jouer les articulations.
En reformulant, méthodiquement dans le champ sémantique :
numérateur/dénominateur, dividende/diviseur/quotient/reste, termes…
En faisant jouer les mots, en articulant les idées
Identification : Percevoir distinctement, reconnaître, distinguer, entendre, voir.
Identification : Retrouver le souvenir d’une personne ou d’une chose,
reconnaître une écriture, une mélodie, un signe, un repère, un indice.
L’analyse de la difficulté se poursuit par l’observation du/des détails.
Par ricochet ?
Où il a été question de (re)vérifier la validité du principe :
« C’est en disant autrement que le sens devient manifeste »
Gematria (exemple numérique)
Identité et identification
Lire entre les lignes
Tourner sept fois ses yeux entre les lignes.
Le sens du mot que l’on a commencé à lire est anticipé
Il y a une oscillation entre l’analyse et la synthèse :
comme il y a une oscillation entre l’observation d’un tableau d’abord perçu dans son ensemble, puis analysé
ou un œuvre musicale perçue au fil de l’écoute avant d’être perçue dans sa globalité,
entre la métaphore et la métonymie, plaisir de « dominer la situation » d’occuper une « place royale »
cet instant où on se prend au jeu et où on s’y retrouve.
(Les ménines + la lettre volée + image dans le tapis)
Calculer un minimum laisse entendre que l’on va chercher pour quelle valeur de x, la dérivée s’annule. Montrer que
cette dérivée n’a ni une racine décimale ni une racine rationnelle est un prétexte pour calculer une « valeur encadrée ».
Lire jusqu’à Ah ! oui, j’ai compris
Circularité du tout et des parties
La question disparaît quand la réponse est obtenue.
Ah ! oui, je vois ! Plus ou moins silencieuse
Parce qu’on a compris où se trouve l’essentiel, on réalise que le travail est fait.
Après-coup on dira : Ah oui, ça va, maintenant j’ai compris,
en gardant à l’esprit le souvenir du futur point d’arrivée.
C’est ce que l’on avait déjà abordé en proposant de partir de la fin
et de construire le chemin à rebours .
C’est parce que l’on achoppe sur un point que l’on fait émerger un aspect « mal métabolisé » ,
Tenir compte du contexte proche ou lointain
Comme souvent, détaillons l’environnement proche, puis, si nécessaire, l’environnement plus lointain.
Se préparer en se remémorant les prérequis et en reconstituant le contexte
Le chapitre c’est le contexte
Le contexte seul qui fera choisir entre tangente de l’angle (pente) et tangente à la courbe.
Commençons par mettre en relation certains élément
Chercher les relations en observant (pas de tâtonnement)
Pour éviter de s’engager dans des calculs aventureux puisque dépourvus d’objectif,
on peut commencer par examiner l’environnement de la question.
La question prend son sens si l’on considère que le paragraphe précédent b) mentionne
Variable aléatoire, est une information sur le contexte.
Encore faut-il se replacer dans le contexte.
Tout était défini et la difficulté venait d’une lecture faite dans le désordre.
La compréhension passe par la recherche dans les lignes plus ou moins proches
de l’énoncé qui pose problème et cela n’est pas l’apanage des mathématiques.
13 Penser c’est admettre de distinguer le vrai du faux.
Penser et distinguer le vrai du faux
Parménide (lien) noue la pensée, l‘être/non-être et le tiers exclu dès l’antiquité.
Puis les Grecs anciens, préoccupés par la compréhension des textes barbares (lien),
proposent traduction (Hermès), dialectique (thèse-antithèse-synthèse) et rhétorique.
Descartes, propose, en contrepoint, une méthode scientifique,
qui fera beaucoup de place à l’esprit géométrie au détriment de l’esprit de finesse. (Pascal).
14 Contrat implicite
Contrat : Le texte est compréhensible par l’élève
Toutes les informations nécessaires sont présentes dans l’énoncé, ni piège, ni difficulté insurmontable.
Rendre, justice à l’auteur, ni secret occulte ni rébus
L’enseignant part de l’idée que l’exercice va apprendre quelque chose à l’élève.
Encore faut-il que l’élève perçoive cette intention et accepte le contrat implicite :
l’énoncé fournit toutes informations,
n’affirme que des énoncés vrais et pertinents,
il est clair, sans ambiguïté
et, enfin, il est réalisable.
À ces quatre règles s’ajoute donc l’intention.
l’exercice est aussi l’occasion d’apprendre quelque chose par soi-même
Comment débusquer l’intention, comment la rendre intelligible.
Ne pas exécuter le travail sans examen et sans procès.
a) tout énoncé est produit dans une situation
b) l’énoncé met en jeu des sujets énonciateurs, ici enseignants et élèves
c) l’énoncé s’inspire d’une certaine intention ; il vise à réaliser une certaine fin
et organise les éléments de la communication en vue de cette fin.
d) l’implicite est, généralement, explicité par le contexte et le texte qui précède
L’enseignement que tu reçois est un discours orienté.
C’est-à-dire qu’il ne vise pas seulement à dispenser, à travers le temps,
un ensemble d’informations qu’il te faudrait ajuster les unes aux autres
pour reconstituer un savoir préalable ; mais qu’il constitue un parcours
finalisé, dont chaque étape est un préalable pour la suite.
14 Partir de l’objectif de la fin
Isoler l’objet de la recherche et de le déterminer par identification.
Quelle est la question ? Quel est l’objectif ?
Un objectif mal défini conduit à une erreur précise.
Pour voir loin, il faut regarder de près
Pour mémoire : penser globalement agir localement. Oui mais comment ? En reculant, pour se rapprocher.
Egalité et équivalence
Je l’avais pressenti
Effet d’une lecture à toute vitesse, voire précipitée
« À quoi bon chercher une réponse à une question mal comprise »
Identifions les objets de la recherche
Desceller l’intention, s’approprier le texte en le traduisant, faire le détour
L’objectif explicite n’est pas l’intention qui sous tend le problème.
Permet de voir ce qu’il faut faire apparaître
Penser globalement, c’est : ne pas lâcher l’énoncé, y revenir autant que nécessaire pour en extraire le sens.
On error try again, préférer d’adopter un point de vue d’où l’on distingue le chemin à suivre
Inutile donc de s’engager dans des calculs sans, au préalable, une direction à suivre (Chercher le belvédère)
Les calculs hasardeux s’avèrent lourds et conduisent souvent à une perte de temps
15 3 temps pour comprendre Observer, comprendre, conclure
chi va piano, va sano e va lontano.
Cafouillage : si, inutilement pressé par le temps,
le calcul s’effectue dans le cafouillage et la précipitation, la perte de temps sera aux détours
Abandonner consciemment et volontairement le besoin d’aller vite, de sauter les étapes du calcul.
Après le constat : la réponse n’est pas immédiate, et après avoir supposé
et accepté qu’il doit y avoir une réponse possible et satisfaisante,
pour suggérer et faire émerger nous avons décrit et augmenté l’énoncé de déductions simples.
16 Raisonner
En mathématiques il nous faut être en mesure de justifier chaque proposition,
les énoncés s’enchaînent en supposant un accord implicite sur leur inférence.
Il convient que chaque élément puisse être rattaché
à ce qui l’a précédé. Tout énoncé comporte ainsi deux types d’information :
l’information nouvelle, sa raison d’être, sa contribution au discours,
et l’information ancienne qui assure son ancrage dans la représentation déjà construite.
Il est d’usage, en littérature, d’évoquer naïvement « l’enchaînement des idées, l’articulation des arguments »
d’un point de vue épistémologique, on exige plutôt la rigueur de la démonstration s’appuyant sur une proposition établie
pour déduire une nouvelle proposition.
17 Élucider
Dans l’exemple précédent ce n’était pas l’imprécision des mots qui poussait à l’embarras,
c’est plutôt une organisation de l’énoncé « amphibologique », équivoque.
En conséquence, l’écoute active nécessite de reconstruire un sens valide,
Au lieu de : « H. n’estime pas plus stupide que Flaubert … »,
il fallait évidemment lire : « H. n’estime pas plus stupide que ne le fait Flaubert… »
Le lecteur aura rectifié de lui-même.
De plus, il appartient au locuteur qui s’exprime, oralement comme à l’écrit,
de veiller, au moyen d’une expression soignée,
d’éviter de laisser planer le doute sur ce qu’il dit.
Enfin, il reste à se rappeler que le discours est un processus orienté ;
c’est-à-dire qu’il ne vise pas seulement à dispenser un certain nombre d’informations
que l’auditeur ajustera les unes aux autres pour reconstruire la représentation initiale
mais qu’il constitue un chemin finalisé visant à agir sur l’auditeur,
le convaincre, ou lui apprendre une méthode ou encore emporter son adhésion.
18 Vérifier
L’interprétation du résultat tient compte de la formulation de l’énoncé
Reporter le résultat du calcul sur le dessin pour vérifier.
19 Écrire
Hâtez-vous lentement, et sans perdre courage, vingt fois sur le métier remettez votre ouvrage.Hâtez-vous lentement,
et, sans perdre courage vingt fois sur le métier remettez votre ouvrage :
Polissez-le sans cesse et le repolissez ; ajoutez quelquefois, et souvent effacez.
B. Disposition organiser les idées
Algorithme
Organiser
Pour pouvoir discuter
Voir loin regarder de près
C. Mémoria
On mémorise en faisant des liens visuels ou langagiers
Ce sont les liens qui maintiennent la cohérence de la mémoire et de la pensée.
Le palais de la mémoire
Mémoriser, en ayant compris, c’est être capable de restituer la démonstration sans documents.
(ROC = Restitution Organisée des Connaissances)
D. Élocution (style)
Le désir de l’un est-il le désir de l’autre ?
Attention à rédiger ta réponse. Un nombre, en guise de réponse, ne suffit pas.
Il faut expliciter la démonstration qui mène à la valeur obtenue
Il existe un plan d’étude des fonctions (domaine de définition, variations …)
E. Actio (rendre agréable)
Un savoir pratique inclut l’application à la situation présente.
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L’herméneutuque comme solution :
L’être humain à besoin de trouver des explications à tout 80)
Souvent nous percevons d’emblée le monde tel quel, tel qu’il est sous la main,
d’autres prennent en considération le point de vue adopté,
ainsi l’espace perçu peut-être un lieu d’habitation ou bien un espace entre quatre murs.
Et depuis l’antiquité on sait adopter un point de vue pour voir au-delà de l’immédiat
(ci-dessous 2 pages du Tao Te King, 600 av. J.-C. de Lao Tseu)
Souvent, la difficulté est, pour ainsi dire, du côté fu français plus que des maths.
Plutôt que de partir à l’aveuglette, traduire quoi et comment ?
Pour y parvenir, l’esprit humain met en œuvre quatre opérations de base,
qui s’échelonnent de l’identité à la différence.
Entre ces deux pôles, on ne s’étonnera pas de trouver la modification de la réponse ou de la question à affronter,
ou, si cela ne suffit pas, l’ajout d’une autre réponse, qui renvoie à une question jugée plus pertinente dans le contexte.
Ces quatre opérations rhétoriques fondatrices (colonne gauche dans le tableau ci-dessous, en bas de page
se distribuent généralement sur l’emploi des mots, celui des phrases (donc la grammaire), sur les arguments explicites
ou les propositions qui suggèrent une autre réponse.
Ainsi, pour ne prendre que le cas des arguments, on retrouve ces quatre procédés de réponse.
Opération Exemple
Identités (certaines son remarquable)
différences (vrai ou faux)
ajout (d’un même nombre dans chaque membre de l’égalité)
modifications (commutativité de la multiplication)
Ces quatre opérations se retrouvent aussi dans le classement des tropes :
Tropes et réthorique
Constat de l’usage de mots mathématiques et figures de style (Parabole, hyperbole, ellipse…)
5 étapes : Inventio, dispositio, ….
Tropes : adjonction, suppression, substitution et permutation. et tableau.
En adoptant l’idée de substituer
Les connaissances importent et sont déterminantes de la réponse.
Une approche en compréhension et non une approche en extension.
Cependant, le méta-langage est ce qui favorise l’aboutissement du travail
et conduit ) se départir des mésaventures et des errements hors sujet.
Le métalangage met en évidence ce qui est noyé dans la masse
Expliciter le but, desceller l’intention, s’approprier le texte en le traduisant, faire le détour (lien)
pour aller vers l’élucidation et la résolution.
Treize principes de Rabbi Ishmaël — Wikipédia
Le deuxième Hermès, Hermès Trismégiste, a vécu après le déluge de Babylone, il connaissait la philosophie,
la médecine et l’arithmétique, il fut le maître de Pythagore.
in : https ://fr.wikipedia.org/wiki/Herm %C3 %A8s_Trism %C3 %A9giste
– en fonction de quels criteres juge-t-on le caractere correct ou incorrect d’une interpretation ?
– elucidation
– toute comprehension se meut dans un cercle hermeneutique
– affirmation d’une fonction constitutive du langage
– Les manieres de penser incorporees dans les institutions gouvernent la maniere dont les membres de la societe etudiee par le
sociologue se comportent.
– Si je caracterise[…] je l’evalue en meme temps que je le decris
– l’interpretation de type hermeneutique est elle-meme une enquete.
– « Seule l’explication est methodique », ecrit-il. La comprehension ne l’est pas, mais elle «enveloppe l’explication»,
notamment parce qu’elle la precede, tandis que l’explication « developpe analytiquement la comprehension ».
– Les mathématiques sont en partie déjà écrites et d’autre part en train de s’écrire
– Buts, intentions, desirs, croyances, affects, valeurs, normes, etc. font partie du vocabulaire dont nous disposons pour decrire
ce que nous faisons, ce que P. Ricœur appelle « semantique de l’action » (Ricœur, 1977a) et J. Searle « vocabulaire de
l’Intentionnalite » (Searle, 1985).
– La conception de la « marche ensemble » implique la conception des consequences : le sens des choses reside dans les
consequences qu’elles produisent quand elles sont en interaction avec d’autres choses specifiques. Le cœur de la methode
experimentale est la determination du sens des choses observees au moyen de l’institution deliberee de modes d’interaction.
(Dewey, 1993, p. 615)
– L’enquete est un ensemble d’operations faites ou a faire pour lever un doute, fixer une croyance (c’est-a-dire une disposition
a agir, ou une habitude d’action) ou resoudre une situation problematique (parce qu’incertaine, instable, confuse ou
conflictuelle) — Nécessité des exercices mathématiques
– en leur faisant prendre l’habitude de l’enquete comme methode de fixation des croyances et des valeurs, et de resolution des
problemes, plutot que celle de l’autorite ou de la tenacite, ou encore de la methode « a priori ». Plus largement, il s’agit de
permettre a l’experience commune de se doter « de methodes susceptibles de lui assurer la maitrise d’elle-meme et la creation
de critères propres de jugement et de valeur » (Dewey, 2012, p. 67).
– Et il ne suffit pas de modifier les états mentaux des acteurs pour réduire le doute et la confusion. Il faut aussi transformer la
situation, la rendre plus claire, plus unifiée, plus cohérente.
Y-a-t-il un point de fuite, une porte de sortie ?
Changer soi-même
Intention d’apprendre quelque chose.
L’exercice est riche d’enseignement pour peu qu’on sorte de son enfermement.
Les exercices nous apprennent des compléments du cours
De plus, les exercices nous font découvrir quelque chose de nous :
Ces exercices ont pour objectif de nous apprendre quelque chose, soit,
ici l’identification de la forme, identification des valeurs des éléments, …
… mais, par surcroît, c’est aussi l’occasion d’un identification de la méthode de travail
et de la conduite de la pensée et, surtout, l’opportunité de s’améliorer.
Kant
je ne limite pas à l’aufklärung
J’ai bien conscience de percevoir, (Kant 1 et 2) j’ai conscience de le savoir.
Reste (savoir, connaître, entendre, discerner et comprendre : Kant 3 sqq)
Comprendre, ou plus exactement, utiliser
Savoir sans pratiquer n’est guère mieux qu’ignorer.
Intentionnalité, idée principale (À placer)
Dégager l’essentiel d’un texte, fut-il mathématiques, est un acte volontaire et conscient,
S’orienter dans l’espace c’est connaître sa droite et sa gauche et disposer d’un point fixe.
Par définition, en se plaçant face au soleil à midi, la soleil s’est levé à gauche et se couchera à droite.
S’orienter dans la pensée nécessite de donner un sens à l’orde des mots.
