Thalès

Ensembles de nombre Compendium lycée


Hermès TPE
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Lever le doute :

J’en ai parlé à Monsieur Bozons. Il m’a dit d’éviter de confondre les nombres et les chiffres ; sur internet il a écrit « ceci n’est pas un nombre » et voilà le résultat (ici à droite). Bon, en se fatiguant un peu on voit un 2, mais je ne comprends pas ce qu’il vient faire ici à côté de la pipe.
Il m’a fait remarquer, aussi, que sur les vieilles horloges le chiffre romain quatre s’écrit avec quatre bâtons et non pas  IV  comme je le croyais. Puis il m’a proposé différentes écritures du nombre quatre comme ici à droite.
Bon d’accord, mais alors « quatre », c’est quoi ? Un nombre.Comme j’étais un peu perdue et qu’il s’agit de mots je suis allée questionner Madame Emerec notre de professeur de français. Pour elle « quatre » est un adjectif. « Et même, précise-t-elle,  un adjectif numéral cardinal ; tandis que quatrième  est un adjectif numéral ordinal. » Cela s’explique, ajoute-t-elle, parce « être quatrième dans l’ordre d’arrivée » indique l’ordre (ordinal) tandis que « les trois mousquetaires », même si leur devise est « Tous pour un, un pour tous »  le cardinal de leur ensemble est trois (Athos, Porthos et  Aramis)  mousquetaires du roi Louis XIII, avec d’Artagnan  soit un ensemble de  quatre éléments.  

Et Papa d’ajouter que le cardinal des trois mousquetaires n’était pas trois mais Richelieu !

Madame Emerec m’a conseillé de jeter un œil à ce document. D’après elle, cette question ne date pas d’hier et, me promet-elle : « Tu commences un long voyage ! » 

 

 

Cette semaine, maman a eu la bonne idée de nous emmener au musée Beaubourg, dans le centre de Paris. Nous avons fait la visite de l’exposition permanente avec un vrai peintre très bavard.   Nous nous sommes arrêtés devant une chaise. Si, si, je vous assure, au musée on expose une chaise. Vous pensez peut-être qu’il s’agit d’un objet d’art qui porterait abusivement le titre de chaise, et non, voici l’objet (à ci-dessous). Bon, c’est à la fois de l’anglais et du français. Mais c’est de l’art moderne ! Voilà, si on vous demande ce qu’est « a chair » …  \fbox{ \begin{minipage}{8.5cm}\hspace*{5mm} {\bf chair} (tsh\`{e}re), n., chaise, {\it f.} ; si\`{e}ge, m. ; (of a professor) chaire, {\it f.} ; (of the chairman or president of an assembly) fauteuil, m ; (rail) coussinet, m. Arm- -- ; {\it fauteuil}. Une chaise est un type de si\`{e}ge, c'est-\`{a}-dire de meuble muni d'un dossier et destin\'{e} \`{a} ce qu'une personne s'assoie dessus. Un si\`{e}ge pour une personne sans dossier ni repose-bras est un tabouret ; pour plus d'une personne c'est un sofa ou un banc. \end{minipage}}
En effet, une chaise c’est plutôt comme ci-dessus. Pourtant quand je lis la définition, ou quand je dis le mot « chaise », j’ai l’impression que la chaise est présente. Notre guide ajoutait que la chaise présentée ici est « représentée ». Et il insistait sur le « re » de re-présentée. De plus, disait-il, le mot « chaise » dans la définition peut être utilisé de façon variable pour beaucoup de chaises différentes. Le  peintre, qui nous accompagnait, a expliqué que « le mot n’est pas la chose » et que le texte affiché nous  permet de nous faire une idée, de rendre présente la chaise comme ici à droite.

J’ai repensé à Alice au pays des merveilles : 

Lewis Carroll, De l’autre côté du miroir

Et là, je me suis aperçue que la chaise à laquelle j’avais pensée n’était qu’une sorte de photo en noir et blanc. Bref, ce n’était pas une chaise précise. Alors que devant le tableau il y avait une vraie chaise, sur laquelle je pourrais m’assoir. Mais cela était interdit.  J’ai acheté la carte postale en sortant pour la mettre dans mon blog. « Laquelle des ces trois chaises est la vraie chaise, celle de la photo ? Sa définition ? Celle en bois ? » Donc, je peux m’assoir sur la chaise qui est une réalité à laquelle je suis sensible, comme dit Platon, la définition c’est un peu comme la réalité intelligible, je peux comprendre l’idée de chaise et la photo est une illusion artistique. « Est-ce de l’art,  ou pas ?  » ironise Papa, ce n’est qu’une photo, même pas une peinture !

Ensuite, le peintre  nous a parlé d’un tableau d’un peintre belge nommé René Magritte qui montre que,  même peinte de la manière la plus réaliste qui soit, une pipe représentée dans un tableau n’est pas une pipe. Elle ne reste qu’une image de pipe qu’on ne peut ni bourrer, ni fumer, comme on le ferait avec une vraie pipe. Je trouvais tout cela fascinant, et j’aimerais bien  connaître tout cela sur le bout des doigts.

 

En rentrant, j’ai repensé à ce mot « rapport » : quel rapport entre les trois chaises, les trois lits de Platon.  Il me semble que ce mot à partie liée avec ce que nous avons fait depuis la cinquième : nous avons travaillé le notion de fractions et nous avons effectué différents calculs de vitesse

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À gauche, le grand rectangle rouge est fractionné en 15 petits carrés dont 6 carrés verts et cinq bandes verticales dont deux bandes vertes. Le rectangle vert a une aire qui peut s’exprimer soit comme les \dfrac{6}{15} du grand rectangle rouge, soit comme les \dfrac{2}{5} du rectangle rouge.

Et nous avons construit des tableaux de proportionnalité :

 

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Dans le rectangle bleue nous avons écrit un coefficient, c’est-à-dire un facteur par lequel il faut multiplier tous les nombres de la ligne supérieure pour obtenir les nombres de la deuxième ligne. Dans le cercle rouge on a écrit le calcul inverse. On peut lire que \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{40} {100} c’est-à-dire que 6 est les 40\% de 15 et que 1 est les 40\% de 2{,}5. On parle bien de fraction d’une quantité, ou du rapport de deux mesures. En classe de 4^{\grave {e}me} nous avons observé que, dans un triangle rectangle, le rapport du côté adjacent et de l’hypoténuse ne varie qu’avec la mesure de l’angle.

Par la suite, nous avons étudié le théorème de Thalès où l’on parle de rapports égaux. Et nous avons appris que des droites parallèles déterminent sur des sécantes des rapporte égaux :


On peut aussi dire que les proportions sont gardées et écrire \dfrac{MN}{AN} = \dfrac{BC}{AC}. Cette dernière égalité peut être calculée en permutant les termes en croix : \dfrac{MN}{\color{red}{BC}} = \dfrac{\color{red}{AN}}{AC} \Longrightarrow \dfrac{MN}{\color{red}{AN}} = \dfrac{\color{red}{BC}}{AC}

Certains rapports ont un nom : quart \left(\dfrac{1}{4} \right), pourcentage \left(\text{ex :}\dfrac{30}{100}\right), échelle \left(\text{ex :}\dfrac{1}{42}\right), sinus \left(\dfrac{\text{oppos\'{e}}}{\text{hypot\'{e}nuse}}\right), et pente \left(\dfrac{\text{oppos\'{e}}}{\text{ajacent}}\right),

La pente , c’est un autre nom pour la tangente de l’angle \left(\dfrac{\text{oppos\'{e}}}{\text{ajacent}}\right). Le terme de coefficient directeur est un synonyme de pente quand on écrit l’équation d’une droite : exemple : f(x) = \dfrac{2}{1} x -3. Et lorsque la droite rouge dans l’image de droite touche la courbe noire en un seul point, on que cette droite est tangente à la courbe et le coefficient directeur de cette tangente s’appelle le nombre dérivé de la courbe au point de tangence.

 

Cela fait beaucoup d’idées autour du mot « rapport », et ce n’est sans doute pas fini.

Cela fait un grand fourre-tout autour du mot « rapport ». Même si je ne suis pas très assurée de ce qu’est un nombre, je pense que je peux, pour  l’instant, me contenter de l’idée de nombre qui, au sens propre, est soit un nombre de bidules (élément, dirait  Monsieur Bozons), soit un nombre comme ça, une idée qui traverse l’esprit. J’aimerais bien préciser tout cela. 

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