16. Factorisation par identification

Le mystère se dissipe.


Mise à jour 2023-11-17 par Mathilde Ohm
 18. Scandale
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Janvier (semaine 5)

la dichotomie : 

Mise en scène 
 
Dans le DST il fallait trouver le point d‘intersection d’une droite avec une fonction du second degré 
sans connaître l’équation de la droite passant par A(1;1).   
La reconstitution de la scène  de l’escrime nécessite une équation pour une parabole ayant un coefficient de x^2 négatif. 
Au petit bonheur la chance,  f(x) = -2x² +5x -3, qui nous assure une racine x_1 = 1 et  donc  x_2 = \dfrac{3}{2}. 
La droite est  curieusement désignée par { \Huge D_{\textcolor{red}{\bpm{?}}}}. 
Il serait intéressant d’imaginer la raison qui a conduit à la nommer avec cet indice, m, littéral. 
Le décors ainsi planté donne un sentiment de confusion : il existe une infinité de points d’intersection puisque les droites passant par A(1;1) sont innombrables.  
 
Les souvenirs se précisent au fil de la narration,  et 
y_{dm} = mx +p
passe âr A(1;1) donc
1 + m + p \Longrightarrow \fbox{p=1-p}
 
fait émerger l’idée d’un point d’intersection unique dans la formulation de la question
ainsi la droite se précise puisqu’elle devient tangente à la parabole. 
 
Mise en acte 
 
L’écriture de  mémoire \textcolor{blue}{f'(a)(x-a)+f(a) = ma +1 -m}   dénote  une intention de caractériser cette situation. 
En tentant de préciser la signification des m, p et a qui composent ces quelques lignes de mathématiques, 
il vient le sentiment d’avoir l’idée 
sans pour autant réussir à déterminer la valeur de m. 
 
Si l’on ne sait pas (encore !), la valeur de m, 
en reformulant l’égalité  \textcolor{blue}{f'(a)(x-a)+f(a) = ma +1 -m}
les équations de la tangente et de la droite recherchée sont égales, 
par conséquent, cette tangente passe par  A(\textcolor{red}{1};\textcolor{green}{1})  
et f'(a) (1-a) +f(a)= 1 qui conduit conduit aux deux solutions (2-√2)/2et(2+√2)/2
dont rien ne permet de penser qu’elles soient erronées, sauf à être leurrée par l’habitude des résultats scolaires bien ronds.   
(Rappelons-nous que  l’équation de la parabole a été pifométrique, et donc dépourvue de bonnes intentions).
 
En ce qui concerne le DST, le sentiment d’avoir obtenu une résultat erroné persiste. 
Comment ce sentiment est-il justifié ? 
Si on a écrit x₁ = (2-√2)/2etx₂ = (2+√2)/2 et que l’on essaye de vérifier en  calculant f(x) = f((2-√2)/2), 
on se persuade que le raisonnement est faux parce que le sens des calculs s’oublie derrière ce qui s’entend, 
autrement dit la forme masque le fond. 
 
Mise en sens 
 
Pour se sortir d’affaire  mettre un terme aux calculs et récapituler 
en vérifiant le transfert des éléments considérés dans le cadre numérique. 
  • f(x) = -2 x²   signifie que les variations de la courbe sont croissance puis décroissance, 
  •  D ? est une famille de droites D₁, D₂ … passant par A(1 ;1) avec m ∊ ℝ  coefficient directeur de la droite
  • si est elle caractérisée par l’équation y =mx + p.  Donc p = 1 -m. 
  • Les cordonnées du point d’intersection M(M ?, M ?) doivent vérifier les équations de la droite D ? et de la parabole.   
  • f'(a) (1-a) +f(a)= 1  signifie que la tangente au point d’abscisse a  passant par A(1 ;1) est bien la droite recherchée
  • et donc a = M ?, c’est l’abscisse du point recherché et f(a) = f(M ?) =  f((2-√2)/2) = M ?  et y_{dm}= m\left(\left(2 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) +1 -m\right)
 
À ce stade il semble que la cohérence du transfert soit confirmé 
et  ce constat se traduit  par l’exclamation Ah ! oui, je vois plus ou moins silencieuse selon l’environnement.
 
Le calcul, surtout interrompu prématurément en raison du délit de sale tête d’un résultat intermédiaire,  
ne suffit pas à  révoquer le travail. 
Refaire le parcours, même avec des données différentes, en réactualisant le sens des lignes écrites est un outil précieux. 
 
Pour conclure, ta conception du raisonnement qui conduit à la réponse s’avère convaincante  
et même s’il y a une erreur de calcul, cet exercice mérite d’être récompensé. 
(C’est,  malgré tout,  plus satisfaisant de n’avoir pas fait d’erreur de calcul) 
 
En revanche, ne perdons pas de vue qu’il s’agit de caractériser dans le cadre mathématique 
des objets abstraits comme les points, les droites, … la parité, les variations, la structure, … bien plus que de trouver le bon résultat.  
Qui plus est, on cherche à caractériser la même idée de différentes façons 
afin de traduire d’une expression à une autre et donner à penser autrement . 
Exemple : Le point est caractérisé soit par un couple de cordonnées, soit par une un angle et une distance : 
 
Une droite est caractérisée par une équation  réduite ou par une équation cartésienne : 
 
Comme disait Rabelais. 
 
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