15. L’ombre d’un doute

Factorisation d'un polynôme par identification


Mise à jour 2022-11-05 par Mathilde Ohm
 17. Le mystère se dissipe
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Janvier (semaine 4)

À la maternelle, et au CP, on épelle, on regroupe les lettres, les mots et les propositions ; le texte se met à signifier. Au primaire, on classe les mots selon leur fonction : sujet, verbe…et on apprend les divisions à 1 chiffre, puis à 2, à 3…

En 6ème, on reprend en parlant de division Euclidienne : D = q \times d + r (1),


Au collège, s’enseigne le sens propre et le sens figuré ; 


c’est dire, s’il existe différentes façons d’exprimer les idées. (2) 

 

 


De même, en mathématiques, une expression peut être formulée 
soit comme une somme soit comme un produit, (3) 
cela se visualise avec l’aire d’un rectangle : 
En troisième, la ligne droite, plus court chemin d’un point à un autre,  a trouvé une expression mathématique : f : x \mapsto ax + b  première rencontre avec les fonctions. 
En seconde, sont apparues d’autres fonctions : carrée, parabole, hyperbole, …. obtenues en composant des fonctions de bases, comme éléments de lego :

 

Tout cela est encore d’actualité, tout comme les acquis du CP sont utiles : « Lire c’est comprendre » 

 

Ainsi, je peux composer deux fonctions affines au moyen d’une d’une division et obtenir une parabole : f : x \mapsto \dfrac{ax+b}{cx+d}

Dans le contexte de cette fin d’année, peut-on composer une fonction au moyen des sinus ? 
Analysons le texte suivant : 
f : x \mapsto 2 \sin(x)^3 -17\sin(x)^2 +7 \sin(x) +8
dont une expression graphique obtenue par https ://www.mathe-fa.de/  pourrait être : 

Le même motif se reproduit régulièrement, raison pour laquelle on qualifie cette fonction de périodique.  De même que nous nous parlons avec une fréquence de 2 fois par semaine,  périodiquement tous les 3 jours (environ), de même cette fonction semble se répéter  tous les 6 carreaux environ. 

Au-dessus de l’axe horizontal (abscisses) on dit la fonction positive, au-dessous elle est dite négative. Pour quelles valeurs de x ce changement de signe s’opère-t-il ? 
Autrement dit, pour quelles valeurs de x,  f(x)=0 ? 
Rompus à cet effort par les années de préparation, (1) (2) (3) nous sommes passés d’une idée à l’autre sans effort, mais à ce stade de la réflexion nous sommes désorientés. 
L’objectif est précisé : « Pour quelles valeurs de x f(x)=0 ?  » Pour l’atteindre, privilégions l’interprétation au tâtonnement. 
Pour traduire, commençons par observer (4) 

2\sin(x)^{\textcolor{purple}{3}} -17\sin(x)^{\textcolor{purple}{2}} +7 \sin(x) + 8 \; \textcolor{red}{ = 0}

les exposants (en pourpre) indiquent une expression du troisième degré qui est une somme égale à zéro. 
Faute de savoir comment s’y prendre avec un polynôme du troisième degré, 
rappelons-nous que l’on peut factoriser une somme, (3)
comme au collège (cf le rectangle, ci-dessus), et que pour qu’un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit, qu’un terme soit nul. On dit que
 « zéro est un élément absorbant pour la multiplication dans l’ensemble des réels »  (5) 

Soit. Mais lequel ? Ici quel terme annule f(x) ? 

Observons la somme des coefficients : 2 -17 + 7 + 8 = 0 . Cet indice, sorte de gematria, suggère que l’une des racine = 1. Essayons : 
2 \times 1^3 -17 \times 1^2 +7 \times 1 + 8

C’est vérifié. L’une des solutions est \sin(x)=1, donc, f(x),  le produit cherché est divisible par ce terme. Attention de bien observer et ne pas confondre \mathbf{x} et \textcolor{red}{\sin(x)}

Pour garder l’esprit clair posons (une abréviation) : 
X = sin(x)
 et cherchons, comme à l’école primaire,  l’expression factorisée de f(x), 
au moyen de la division euclidienne : (1) 

Au lycée on utilisera une autre de mode calcul 

https ://www.mathforu.com/premiere-s/factorisation-d-un-polynome-par-identification/

La  résolution de l’équation du second degré conduit aux solutions 

X_1 = -\dfrac{1}{2} et X_2 = 8

auxquelles s’adjoint X = 1 initialement  déterminé. 
Après cette phase calculatoire, il convient de donner du sens et de vérifier les résultats. (6) 

Puisque  X = sin(x), le domaine de définition ? de l’équation initiale est -1 \leq X \leq 1   X_2 = 8 doit être rejeté puisque X_2 \not\in \mathcal {D} = [-1 ; 1 ]
Les solutions sont donc : 

que l’on peut visualiser sur le cercle trigonométrique : 

En conclusion : 
Cette année restera, pour moi, un souvenir intéressant pour le travail de reformulation de la méthodologie que tu m’as donné l’occasion d’élaborer.  

Je préfère desceller la méthode d’interprétation des textes et des énoncés mathématiques, d’une part, et,  d’autre part, l’orientation dans la pensée, que je ne limite pasà l’aufklärung (sorte d’injonction à utiliser la raison). 

On passe d’une idée à l’autre, par le contexte, par la similitude (içi polynôme de degré 3, X^3) par la représentation graphique, le changement d’écriture, de formulation, le point de vue ….on examine les détails pour y déceler du sens On en signalera d’autres dans nos prochaines rencontres. 

On mémorise en faisant des liens visuels ou langagiers 

Toutes ces méthodes peuvent se faire spontanément quand elles viennent à l’esprit il est aussi productif de s’imposer d’y penser pour y avoir recours au moment opportun. 

Puisque l’année civile (enfin, je ne la perçois pas vraiment civile avec son virus) puisque l’année civile prend fin, je te  souhaite, à toi ainsi qu’à ta famille, toutes sortes de choses plaisantes, agréables et motivantes. 

Cette fois, j’insiste sur cette idée que réaliser, ne pas passer à côté, c’est lire latéralement et non pas littéralement, deux points de vue pour voir en stéréoscopie, pour ne pas tomber à plat ! 

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