Probabilités

Emotions


Mise à jour 2022-05-02 par Mathilde Ohm
La fuite dans les idées géométrique
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L’ironie est, sans doute, le mode d’expression impossible à exprimer en mathématiques.

Impossible de décrire les émotions mathématiques avec des sentiments primaires (colère, ….) pour gérer la mémorisation. Non je ne partage pas cette rumeur que les mathématiques ne seraient que « raison froide et activité solitaire », et non je ne croient pas que les mathématiques soient inhumaines.

S’i lest vrai qu’en fin de parcours on présente un résultat s’exprime en général de manière concise, formelle, effaçant les traces de leur genèse.

Il existe cependant un sentiment connu = l’émotion esthétique de belle formule e^i\pi}+1=0 JJD Prendre une photo
elle lie aussi clairement et simplement cinq concepts importants dans le développement des mathématiques :

le zéro, dont l’introduction au XIIe siècle dans notre culture a rencontré une forte résistance

le un, l’unité arithmétique qui, par l’addition, permet de reconstruire chaque nombre

l’unité imaginaire i, introduite par des mathématiciens italiens au XVIe siècle et qui est à l’origine de la construction des nombres complexes

le nombre \pi, le rapport entre circonférence et diamètre d’un cercle

le nombre e, nombre irrationnel qui est la base des logarithmes naturels

le partage de savoirs et de croyances, de préférences en ce qui concerne les conventions, formalisations et principes déductifs, aussi bien que des moyens de communiquer et d’agir. Plus précisément on peut distinguer en général trois dimensions dans l’orientation émotionnelle7 :

Critères pour l’acceptation des explications

Cohérences opérationnelles structurant les explications

Actions considérées comme légitimes

a plupart du temps c’est de la joie de la découverte de la vérité qu’il est question,

la perspective mathématique demande un mélange original d’intuition, d’imagination – parfois un brin de folie – avec un sens aigu de rigueur déductive

a première est celle du courage intellectuel, c’est-à-dire la faculté de produire des conjectures qui peuvent remettre en question son savoir établi. La deuxième est l’honnêteté intellectuelle, la volonté de réviser ses croyances en face d’une contradiction. Et finalement ce que Polya appelle la sage retenue9 qui consiste à rejeter certaines formes de résistance, comme l’intimidation, à une conjecture nouvelle.

Les rôles que l’esthétique qui semblent fondamentaux :

  • évaluatif,
    Il facilite une sélection des objets importants et il détermine aussi la manière de formuler
  • génératif,
    l’invention, et privilégie l’imagination et l’intuition, les mathématiques comportent une composante ludique, semble indéniable.
  • motivationnel
    Il faut  chercher dans l’idée de surprise, de paradoxe ou simplement d’ordre, la clé de cette fascination.
  • sélectif.
    un grand nombre de facteurs comme l’attrait de l’objet géométrique, la concision d’une démonstration ou même une rigoureuse économie formelle, peuvent infléchir la sélection d’un domaine ou d’une problématique particulière.

 

Un résultat faux n’a pas d’attrait et apparaît comme «  laid ». Mais de quelle vérité s’agit-il puisque les mathématiques n’ont pas de « réalité » ?

La cohérence, donne son sens à la démarche mathématique. La non-contradiction, particulièrement dans sa phase de recherche, est une motivation particulière pour le chercheur

La simplicité qui possède un attrait esthétique évident pour le chercheur. Elle lui donne une force opérationnelle plus grande – il suffit de penser à l’importance de la notation et la facilité de sa manipulation

Et c’est l’une des lettres de noblesse de la logique du premier ordre d’être « complète » dans le sens d’une parfaite adéquation entre syntaxe et sémantique. Ce résultat, dû à Gödel13, est un véritable plaisir esthétique pour tout logicien !

Si la symétrie est considérée comme génératrice du beau par les mathématiciens, l’élégance est parmi les premiers qualificatifs JJD : voir math et musique (harmonie, rythme…) L’analogie s’en trouve facilitée.

La concision comme composantes de l’élégance, en particulier pour une preuve une preuve.

la rigueur facilite l’exportation de définitions de raisonnements et de preuves formelles et permet la comparabilité et la décision en cas de divergence

Un survol intuitif de la question livre dans le désordre :
• le sentiment de démonstration satisfaisante
• l’orgueil d’une découverte
• la cohérence logique
• l’angoisse devant la “singularité” d’un objet indiscutablement présent mais hors du contexte (racine de 2 n’est pas un nombre)
• le suspense d’une conjecture non validée (Fermat)
• la signature personnelle d’une création
• l’assurance des fondements
• l’inquiétude devant l’éventuelle indécidabilité
• l’usage pratique d’une structure mathématique
• etc

Plaisir de mener à terme

J’ai gardé le souvenir d’une  sortie au château de Guédelon. Nous y avions passé un bon moment et cela nous avait sorti du train-train des exercices de résolution d’équation. Certains élèves disent : « je ne sais pas faire parce que je ne comprends pas ! » et le prof semble embarrassé comme s’il ne savait pas  comment expliquer ce qui est tellement évident, … pour lui.  On dirait que le prof ne comprend pas que les élèves  ne comprennent pas.

Il est vrai que parfois, on peut  arriver à résoudre l’exercice sans comprendre.

Certains élèves pensent que l’exercice est un piège ou une question idiote par exemple si on demande  nombre entre 5,1 et 5,2, et persistent dans ce sentiment même si l’on demande ensuite un nombre entre  5,12 et 5,13

Pour certains exercices,  je sais que je peux y arriver, mais là tout de suite … Laissez-moi un peu de temps. (Papier plié) . C’est à porté de main. (rectangles dénombrements)

Le premier chapitre du cours de maths,  au lycée,  concernant les suites numériques ;  touche à sa fin et notre prof nous invite à préparer le prochain contrôle. L’annonce d’un contrôle est toujours intimidante et engage à réviser ses connaissances. La rencontre  avec l’énoncé s’apparente souvent à un affrontement avec une énigme.

D’un certain côté, c’est  tant mieux, parce que souvent cela réveille  mon  désir ou ma  volonté de comprendre. Dire mon incompréhension c’est aussi dire mon désir de comprendre, d’être en pays de connaissances, de s’y retrouver. J’aimerais bien être partout chez moi en mathématique, mais cela semble n’être qu’un rêve.

Traduire, c’est souvent procéder « mécaniquement », mais ce qui distingue le bon traducteur c’est évidemment qu’il ne se contente pas d’un simple mot à mot. L’exactitude ne suffit pas. Encore me faut-il pouvoir en faire usage, le mettre en œuvre, en tirer profit.

À la différence de la lecture rapide, du « surf » sur la toile, la volonté de comprendre suppose de lire avec un projet : pour que le texte « me  parle », « qu’est-ce que ça veut dire ? » est, souvent, la première pensée, et pas seulement devant un exercice de mathématiques. Parfois, nous disons « comprendre » sans trouver les mots pour le dire ou pour l’expliquer ; nous « comprenons » parfois ce que nous faisons ou ce que nous devons faire sans pouvoir en rendre clairement compte. Mes enseignants ont insisté pour que je prenne le temps de comprendre, « Ne soyons pas si pressé de tourner la page avant même d’avoir pris le temps de la lire », dit le prof de français. Il m’arrive, pourtant, assez souvent,  de mettre un terme aux explications en disant : « Ça va, j’ai compris, j’en sais assez, je n’ai pas besoin d’en savoir davantage pour saisir le point qui importe, celui auquel tu veux en venir celui qui me permet de faire ce que tu attends.»  Il me semble même qu’il est préférable de ne pas vouloir tout comprendre si je veux comprendre quelque chose.

Avoir le projet de le comprendre, c’est d’abord de prélever les éléments utiles : As-t-on bien lu ? Est-ce qu’aucun passage est passé sous silence ?

Y-a-t-il des passages obscurs ?

C’est, très probablement, le premier conseil proposé au débutant. On précise souvent de souligner les mots importants, de se rappeler ou trouver les définitions nécessaires. En effet, il n’est pas rare de passer à côté de l’important. L’évidence nous aveugle quand elle ne nous crève pas les yeux. plaisantait Gustave Flaubert dans son Dictionnaire des idées reçues (1913).

À contrario, il m’arrive d’avoir le sentiment de ne pas être comprise, que mon interlocuteur ne comprends pas ce que je veux dire, et pourtant je pense me comprendre suffisamment moi-même pour penser que c’est lui qui ne me comprends pas.

On ajoute souvent de s’assurer de connaître la définition de chaque mot « mathématique » et de reconnaître suffisamment la définition des autres mots. En effet, la définition d’un mot mathématique conduit souvent vers une solution. Je me souviens de cette question résolue au collège : « Quelle est le rayon du cercle de centre O représenté à droite.

La solution était toute trouvée avec la propriété des rectangles d’avoir leurs diagonales de même mesure.

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Je vais mettre à profit ce moment de révision pour me remémorer les conseils que j’ai accumulés au collège et l’année dernière.

La démarche et les stratégies utilisées Stratégie à développer
Planification :

  • Comprendre les consignes
  • Comprendre ce qui est à faire c’est être capable de dire les étapes à suivre)
  • Anticipation de la résolution et de la réponse.
Regrouper et  classifier les idées importantes, les données essentielles.
Révision de la planification, verification

  • S’assurer de tout lire ;
  • S’assurer d’avoir tout fait ;
  • Relire ce qui n’est pas compris ou clair ;
  • Superviser (c’est en cours de route, il faut savoir ce qu’on a a faire).
Contrôle et ajustement :

  • Lire, apprendre sur le sujet ;
  • Identifier les nouvelles informations
  • Se rappeler de l’intention ;
  • Penser dans sa tête ce dont on veut se souvenir
  • Vérifier si toutes les étapes sont franchies.
Réalisation :

  • Relire des phrases ou des parties de textes ;
  • Se questionner sur la signification de ces parties ou sur ce qui est demandé ;
  • Utiliser des livres de référence (lexique, dictionnaire, manuel, . . .) si nécessaire ;
  • Faire appel â des ressources externes en cas de besoin.
Se donner une démarche, des étapes pour arriver a réaliser la tâche

  • Retirer l’information contenue dans le texte
  • Lire et modéliser le problème en dessinant ou en représentant les idées principales en tableau, en schéma, en diagramme ou en formulant des hypothèses ;
  • Raconter, expliquer â d’autres sa lecture, sa compréhension ou â quoi ça fait penser
  • Confronter les idées ;
  • faire un résumé et réagir au contenu.
Vérification :

  • Faire un retour sur sa lecture ;
  • S’assurer d’avoir bien répondu  à la tâche ;
  • Vérifier la réponse ou relire la question ;
  • Comparer sa perception avec celles des autres, quand c’est possible.  (vérifier, faire la preuve, valider).
Se donner un temps de réflexion pour faire un retour sur ses stratégies, ses démarches, ses processus, sa lecture.
 Réviser les stratégies connues s’il y a difficulté.

 

Avoir le projet de  comprendre, c’est d’abord de  prélever les éléments utiles : As-t-on bien lu ? Est-ce qu’aucun passage est passé sous silence ?
C’est, très probablement, le premier conseil proposé aux débutants. On précise souvent de souligner les mots importants, de se rappeler ou trouver les définitions nécessaires. En effet, il n’est pas rare de passer à côté de l’important.  L’évidence nous aveugle quand elle ne nous crève pas les yeux.  plaisantait Gustave Flaubert  dans son Dictionnaire des idées reçues (1913).

C’est pas mal, et m’a semblé convainquant jusqu’à l’année dernière, mais cette fois je me demande bien comment on « comprend les consignes » ou quelle est l’utilité de « Relire ce qui n’est pas compris ou clair. ». Je vais tâcher d’approfondir pour mon TPE.

 

  • Relire plusieurs fois l’énoncé
  • Faire un schéma pour comprendre
  • Noter au brouillon les éléments connus
  • Résumer avec ses propres mots ce que l’on doit chercher
  • Résoudre l’exercice
  • Vérifier le résultat : répond-il à la question ? Est-il cohérent ? Est-il correct ?
  • Phrase de conclusion bien écrite, qui montre qu’au-delà du calcul vous avez compris ce que vous faisiez.

 

Ensuite, il faut prendre 1 à 2 minutes ou plus, au début du controle pour regarder l’énoncé. Cela a plusieurs intérêts :

– tout d’abord savoir le type de contrôle : est-ce un contrôle facile et long où il faut aller vite, ou au contraire court mais difficile, où il faut bien prendre le temps de rédiger et de tout justifier dans les moindres détails.

– regarder les différents exercices et leurs difficultés. Si tu vois que le 1er exercice est dur et qu’au contraire le dernier est facile et que tu peux le faire rapidement, il serait dommage de commencer par le 1er exercice et risquer de ne pas avoir le temps de faire le dernier où tu peux avoir des points…
En regardant rapidement les exercices, tu peux élaborer une stratégie quant aux exercices que tu vas faire.

– voir les dépendances entre les exercices. Si tu vois que le 2ème exercice utilise des résultats à trouver dans le 1er, il serait bête de commencer par le 2ème…

– te donner une direction et te motiver. Si tu commences quelque chose sans savoir où tu vas, où cela s’arrête, ce n’est pas très motivant. A l’inverse, si tu connais le nombre d’exercices, le type de questions, etc… cela te motivera et te poussera à rédiger vite et bien. D’autant plus que si tu as travaillé sérieusement, tu devrais trouver des exercices et des questions que tu as déjà faits ! Et tu sais donc qu’en les faisant tu auras une bonne note 

– savoir comment répartir son temps. Regarde les points attribués à chaque exercice (ou demande les au professeur s’ils ne sont pas marqués). Tu sauras alors combiende temps accorder à chaque exercice. Si le 1er est sur 2 points et le 2ème sur 10 points, il serait bête d’accorder autant de temps aux 2 exercices…
Ainsi tu sauras approximativement le temps que tu dois passer à résoudre un exercice en fonction du temps du devoir, ce qui te permettra de savoir au cours du contrôle si tu es en retard ou pas.

Certains se lancent tête baissée dans le contrôle sans prendre la peine de le lire, pensant que c’est une perte de temps, alors qu’au contraire c’est un moyen de mieux le gérer et donc d’en gagner 

Ne pas perdre de temps

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Gérer son temps signifie aussi ne pas en perdre.

Si tu commences à faire un exercice alors que tu sais à l’avance que tu ne sauras pas le résoudre correctement, c’est de la perte de temps. Concentre-toi plutôt sur les exercices que tu sais faire (d’où l’importance de regarder le devoir en entier au début^^).

De même pour les questions difficiles, si au bout de 5 minutes tu n’as toujours pas trouvé et que tu sais que tu vas passer encore beaucoup de temps dessus, saute-les, tu y reviendras plus tard.
En effet, passer 10 minutes sur une question qui généralement rapporte entre 0.5 et 2 points (et encore il faut que tu aies trouver la solution^^), c’est moins rentable que de passer 10 minutes à faire 5 questions faciles où tu sais que tu auras les points.

Evidemment il ne faut pas sauter une question dès que tu ne connais pas la réponse immédiatement, il faut chercher un minimum, mais au bout d’un certain temps tu peux deviner plus ou moins si tu arriveras à résoudre cette question ou pas.

Attention cependant ! Il est parfois nécessaire de résoudre certaines questions pour faire les autres. Il faut donc faire ces questions si tu veux faire la suite. Mais généralement la solution est donnée et tu as juste à la montrer.
Si tu n’y arrives pas, tu dis dans les questions d’après « on suppose que… », ou « d’après la question 3), … ».

Attention aussi à ne pas faire que les questions faciles de chaque exercice et laisser toutes les questions difficiles. Le professeur aura l’impression que tu essayes de « gratter » des points par-ci par-là et pensera que tu n’as pas assez travaillé…
Essaye de faire au moins 1 ou 2 exercices en entier et de faire le maximum de questions (voire la totalité) sur les autres exercices.

Savoir lire un énoncé

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Cela peut paraître stupide, mais pour répondre correctement une question, il faut déjà la comprendre ! !
Si ce n’est pas le cas, essaye de la reformuler, d’écrire ce qu’il faut montrer…

Mais savoir lire un énoncé, c’est aussi et surtout savoir lire les INDICES donnés par l’énoncé ! !
Cela correspond principalement à savoir analyser l’enchaînement des questions.
Prenons un exemple ce sera plus simple ! Imaginons que l’exercice 1 soit découpé de la façon suivante :

Exercice 1
1)
a)
b)
c)

2)
a)
b)

3)
a)
b)
c)

La question 1 est découpée en a, b, et c. Il y a alors 99 % de chances que la c utilise la a, la b, ou les 2 ! ! Sinon on aurait mis la question c dans une autre question…
De même, il est possible, mais pas obligatoire, que la question b utilise la a.

De la même manière, la 2)b) utilisera la 2)a), et la 3)c) utilisera la 3)a) et/ou la 3)b).

De même, la question 3 utilisera la question 1 et la question 2.

En conclusion, la dernière sous-question d’une question utilise les sous-questions précedentes (a, b, c…), et la dernière question utilise les questions précédentes (1, 2…).
Bien sûr cela est une règle générale, il est possible que toutes les questions soient indépendantes mais c’est plutôt rare…

Il est parfois marqué explicitement : « en déduire que… ». Là c’est assez clair, mais quand ce n’est pas marqué et que tu bloques à une question, utilise ce qui est marqué ci-dessus en regardant les questions sucspetibles de t’aider.
Par exemple, si tu es bloqué à la 1)c), regarde la 1)a) et la 1)b), ça peut te donner des pistes de réflexion 

Inversement, il arrive que dans les questions qui suivent, on te donne des indices.
Dans la partie A on te demande par exemple de trouver une fonction f, puis dans la partie B on te dit : on pose f(x) = 3x + 2.
Il y a alors de fortes chances pour que la fonction cherchée dans la partie A soit la même^^ Cela peut t’aider si tu bloques.

Vérifier la cohérence des résultats

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Quand on a trouvé un résultat, il est toujours bon de vérifier si ce résultat est cohérent.
Pourquoi ?
Parce que si ce n’est pas cohérent, c’est sûrement faux… et il faut donc revoir les calculs et le raisonnement pour trouver où est l’erreur.
Le problème évidemment, c’est comment vérifier que c’est cohérent ! !

En physique c’est plus facile car les résultats ont souvent une application concrète, on calcule par exemple la vitesse d’une voiture, la hauteur d’une arbre, etc…
Ainsi, si tu trouves qu’il faut 5 minutes à une fusée pour aller sur la Lune, il y a sûrement une erreur… de même si tu trouves qu’il lui faut 1000 ans…

En physique, il est également facile de vérifier par rapport aux unités, car dans une équation, l’unité est la même de part et d’autre du signe « = ».
Par exemple, si t est un temps et v une vitesse, on peut avoir t =3s, mais pas v = 3kg…

En mathsc’est un peu plus complexe, ça dépend des exercices. C’est souvent par rapport à l’enchaînement des questions.
Par exemple on demande de trouver une fonction f, et après calculs tu trouves f(x) = 8x2 – 4x + 7, et plus loin dans l’énoncé il est dit « on pose g(x) = 8x2 + 4x + 7″.
Et bien on voit que c’est preque la même fonction, à part le – et le +. Donc on se dit qu’on a sûrement fait une erreur et que l’on aurait dû trouver +4x et non -4x.
Il faut alors reprendre le calcul et trouver d’où vient ce « -4x », car l’erreur se situe à ce niveau là.

Ici on a prit l’exemple d’une fonction à trouver mais on peut faire cela avec pas mal de choses (tableau de signe…).

De même, quand on résout un système ou que l’on cherche les racines d’un polynôme, il est toujours bon de remplacer les solutions que l’on a trouvé dans l’expression initiale pour vérifier que l’on ne s’est pas trompé.
Par exemple, si on résout x2 + 2x – 3 = 0 et que l’on trouve x1 = 1 et x2 = 3. On remplace :
12 + 2 × 1 – 3 = 1 + 2 – 3 = 0 : pas de problème.
32 + 2 × 3 – 3 = 9 + 6 – 3 = 12 : 

Donc le 3 n’est pas solution, il y a une erreur et il faut donc reprendre le calcul de x2

 

Soigner la présentation ! !

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Il faut te mettre à la place de ton professeur qui aura une trentaine de copies à corriger qui traiteront toutes du même devoir.
A la fin, il est possible qu’il soit un peu fatigué…
Alors si il tombe sur une copie illisible, sans couleur, sans présentation et avec plein de fautes d’orthographe, il ne va sûrement pas mettre une bonne note ! ! 

Et ce sera pire pour le bac quand le correcteur aura des centaines de copies à corriger…
Prends donc l’habitude de soigner la présentation : tu peux déjà préparer ta copie à l’avance, la veille, ce sera toujours ça en moins à faire pendant le contrôle (évidemment pour le bac tu ne peux pas préparer ta copie la veille^^).

Ecris lisiblement, ni trop gros ni gros petit, en pensant à AERER ta copie ! !
Situécristoutesleslettreslesunescolléesauxautrescen’estpastrèslisible…

De même si tu écris tout petit ce n’est pas agréable à lire^^

Beaucoup d’élèves collent aussi les questions les unes aux autres, sans sauter de ligne, peut-être par souci d’économie de papier, mais le professeur fera lui des économies de points en t’en donnant peu…

Il est bon également de mettre de la couleur et de souligner : pour faire d’une pierre 2 coups, tu n’as qu’à souligner les résultats et conclusions des questions d’une certaine couleur !
Certains professeurs ne veulent pas que l’on souligne en rouge parce qu’ils disent que c’est LEUR couleur, donc demande avant quelle couleur tu peux utiliser.

Evite également les fote dortografe, sait pennible de lire dè copi bouré dereur, suretout quant tu fera des dicert de filo ou de franssé…

Enfin bon tu l’auras compris il faut que ta copie ressemble à une oeuvre d’art 
Bon peut-être pas quand même mais fais en sorte que ça ressemble à quelque chose de propre 

Ne passe pas ton temps à faire la présentation, c’est la veille que l’on préparer sa copie…

Conclusion
Certains conseils donnés ci-dessus ne s’appliquent bien sûr pas à toutes les matières. Pour l’enchaînement des questions ça ne pas servir à grand chose dans une dissertation de philosophie…
Mais d’autres astuces comme la préparation des affaires peuvent s’appliquer à tout type d’examens !

Comme d’habitude, c’est à toi de trouver ce qui te convient le mieux, il est possible que tu arrives très bien à gérer ton temps sans regarder l’heure et qu’une montre te stresse plus qu’autre chose.

Il faut que tu analyses les problèmes que tu rencontres lors des contrôles et que tu utilises les conseils ci-dessus pour les résoudre. A toi bien sûr de les adapter à ta situation et aux différents contrôles, le temps ne se gère pas forcément de la même façon lors d’un devoir

 

Garder à l’esprit.

.. pour le contrôle de samedi indiquer explicitement les éléments :

Soit x = (on peut choisir la vitesse de Sylvain tout aussi bien que celle de Sylvette)

L’aire du rectangle ABCD = 6 * 10

 

….Trouver la relation d’égalité ou d’inégalité plutôt que d’errer à la recherche de l’équation Au brouillon :

 

Le temps de parcours de Sylvain égale  le temps de parcours de Sylvette – 45 minutes TS1 \textcolor{red}{=} TS2 - 3/4

 

ensuite on traduit : Le temps de parcours de Sylvain égale \boldmath{54 / x}. … Ici égale est une définition de la vitesse de Sylvain.

Prendre garde aux unités (45 minutes = 3/4 d’heures)

Préférer les fractions aux décimaux (3/4 est plus maniable que 0,75). Simplifier les équations dès que possible :3x^2 + 18x -1296 = 0 est plus simple à résoudre que :  \frac{3x^2}{4} + \frac{9x}{2} -324 = 0

Être soupçonneuse et vérifier avant de se lancer dans les calculs : (x -5) ne représente pas un écart de vitesse de 6 km/h entre S1 et S2. La vérification est du temps de gagné, pas du temps perdu, parce que déterminer l’erreur dans un long calcul est très coûteux en temps.

Toujours vérifier le résultat. 3 exercices avec des réponses correctes valent plus que 4 erronés. Faire des fiches de synthèses et les discuter avec des proches (parents, amis ….)

Probabilités
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