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Vitesse et précipitation


Calcul littéral
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Le cours de mathématiques ainsi que les énoncés des problèmes, pris mot à mot,   présentent un sens premier insuffisant. Observons par exemple le problème de quatrième suivant dans Lebossé-Hémery classe de 4ᵉ p. 72 :
Aujourd’hui les horloges analogiques ne font plus florès et les élèves ont à résoudre des questions semblables avec de horloges digitales dans Concours Kangourou des maths 2011 sujet C :
Parfois, les élèves comprennent sans effort, presque immédiatement, sans doute pour avoir appris à comprendre la situation. D’autres fois, le problème ne se comprend pas sans effort, et bon nombre d’élèves essayent de comprendre malgré tout, et cette compréhension passe par l’ « interprétation ». En premier lieu, avec l’horloge de « grand-père » l’élève dit ne pas « voir » la solution, la question semble obscure. Le problème semble embrouillé, emmêlé, compliqué. Puis, l’énoncé peut sembler incohérent ;  dans quel contexte cette question prend-elle forme : calcul de diviseurs ou de multiples communs ?  calcul de vitesse et de temps ?  calcul d’angle ? Résolution d’une équation ? Alignement de planètes ? Bref, l’élève dit qu’il ne sait pas comment faire. Enfin, le problème peut paraître indéterminé, même si clairement il faudra répondre par une heure (deux heures quelque chose), il peut hésiter à chercher un temps, un angle, un nombre qui conduirait à répondre.
  • En première lecture, l’énoncé pose question, pas seulement parce qu’il s’agit de déterminer l’heure où les aiguilles se superposent, mais aussi parce qu’il faut dépasser le sentiment d’affrontement avec un problème d’un autre âge. Si l’élève juge le problème hors de portée avant même de s’y confronter, s’il pré-juge, il condamne toute réponse possible.
L’élève peut dépasser le préjuger et commencer une réflexion. C’est-à-dire faire correspondre aux éléments de l’énoncé d’autres éléments qui expliqueront ce qui semblait compliqué.
À quelle heure, entre 2h et 3h, l’aiguille des minutes et l’aiguille des heures sont-elles à la seconde près superposées ?
Si l’on se représente mentalement la situation, on peut imaginer les positions de départ à 2 heures précise, et la position d’arrivée à l’heure recherchée. Il est alors possible de se dire que le temps écoulé entre ces deux moments est le même pour les deux aiguilles, la grande et la petite. Cette égalité de temps peut donc est écrite sous la forme d’un équation mathématique :

temps de déplacement de la petite aiguille = temps de déplacement de la grande aiguille

Ce temps de  déplacement ajouté à 2 heures (l’heure de départ) nous donnera l’heure de superposition recherchée. Cherchons donc ce temps écoulé. Ici donc, nous devons trouver la signification littérale de ce temps écoulé. C’est une traduction apprise dans le cours de cinquième et quatrième en accompagnement de la notion de proportionnalité. v = \dfrac{d}{t}, par exemple on dit 60 km/h, autrement dit soixante kilomètres parcourus chaque heure écoulée. Pour une vitesse v constante, le temps de parcours est proportionnel à la distance parcoure et donc t = v \times d, autrement dit, à vitesse constante, la durée du trajet augmente avec la distance parcourue. On traduit bien littéralement un mot (temps, par exemple) par une expression (vitesse multipliée par la distance). D’autre part, traditionnellement un tour se traduit par 360^\circ. Les vitesses des deux aiguilles ne sont pas les mêmes, et les distances parcourues ne sont pas identiques. Nous avons donc quatre mots à expliquer :vitesse de la grande aiguille, vitesse de la petite aiguille, distance parcourue par la grande aiguille et  distance parcourue par la petite aiguille.
\bullet En une heure,  la petite aiguille des heures ne se déplace que d’un douzième de tour quand la grande effectue un tour complet. Au collège cela se représente par le tableau de proportionnalité :

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Autrement dit, il faut 12 x pour faire 10 minutes +x.   On peut donc traduire littéralement

temps de déplacement de la petite aiguille = temps de déplacement de la grande aiguille

(1)    \begin{align*}\textcolor{DodgerBlue}{12 \times x } &= \textcolor{DarkGreen}{10\; \mathrm{ minutes} + x }\\ \textcolor{DodgerBlue}{11 \times x } &= \textcolor{DarkGreen}{10\; \mathrm{ minutes}}\\ \textcolor{DodgerBlue}{x} &= \textcolor{DarkGreen}{\dfrac{1 \; \mathrm{  minute} }{11}  }\\ \end{align*}

Soit 54 secondes. Les deux aiguilles se superposent à 2 h 10 mn et 54 secondes. Dans l’exemple ci-dessus c’est essentiellement l’explication du sens littéral qui conduit à la résolution.
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