19. Saisir l’intention

C'est un roc,
c'est un cap...


Mise à jour 2023-11-17 par Mathilde Ohm
 21. Après coup
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Au cours de notre entretien de ce matin tu voulais avoir la preuve de l’unicité de la fonction f\textcolor{red}{\Hudge \mathbf '}(x) = f(x). Je te propose de tenter de mémoriser la démonstration (orale, puis écrite) 
 qui suit cette la présentation de \exp(x) = e^ˣ (1ère vidéo ci-dessous) : 
 

De vive voix :
 
Les écrits restent, eux, si les paroles s’envolent :
 
 

Mémoriser, en ayant compris, c’est être capable de restituer la démonstration sans documents. (ROC = Restitution Organisée des Connaissances)

 
Souvent nous percevons d’emblée  le monde tel quel, tel qu’il est sous la main,
d’autres prennent en considération le point de vue adopté, 
 ainsi l’espace perçu  peut-être un lieu d’habitation ou bien un espace entre quatre murs. 
 
E t depuis l’antiquité on sait adopter un point de vue pour voir au-delà de l’immédiat 
(ci-dessous 2 pages du Tao Te King, 600 av. J.-C. de  Lao Tseu)
 
 
Soit mais qu’en est-il en mathématiques ? 

 

Soit à se pencher sur cet exercice ; 
qu’y puiser ? 
à observer, inlassablement,  la rédaction et son commentaire, 
l’erreur finit par être remarquable. Cependant, c’est le détail exprimé 
par l’exclamation du coup c’est impossiblequi contient l’essentiel. 
 
Pour commencer vérifions le résultat en remplaçant x par la valeur -2
 
4^{\textcolor{red}{-2}+1} = 4{-1} = \dfrac{1}{4} et 
 
2^{\textcolor{red}{-2}} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4}
 
et donc, x=-2 vérifie,  et,  est bien solution de l’équation initiale. 
 
La solution est la bonne malgré un sentiment d’erreur ! 
 
Que faire alors du sixième sens, de l’intuition, qui s’immisce dans le calcul ?  
 
En reconstituant le chemin emprunté il devient évident d’avoir laissé passé 
un automathisme : je passe de l’autre côté, barbarisme incontestablement prononcé
dont la trace explicite est indiquée par le zéro laissé à droite du signe égal. 
 
Après rectification on obtient 
 

\dfrac{2^{2x + 2}}{2^x} = 1

Ce qui s’apparente à une tautologie puisque le rapport de deux nombres égaux est 1, 
c’est même cela qui fait l’identité, ne faire qu’un. 
 
Première conclusion, le pressentiment d’erreur ne concerne pas le résultat (juste, ici) 
mais le calcul lui-même. Situation récurrente qui demande de redoubler d’attention, 
de ralentir pour ne pas perdre de temps à corriger, 
d’écouter le commentaire du for intérieur (interior), 
et, si ce n’est d’écrire toutes les étapes du calcul, au moins les visualiser. 
 

Deuxième conclusion, féminine ou pas, faisons confiance dans son intuition :

Nous interprétons sans cesse les événements et nous le faisons par la narration, 

en retenant les événements marquants et en oubliant les autres (Qu’ai mangé lundi dernier ?)
 
Soit. Mais mathématiquement parlant, qu’apprendre de cet exercice  ? 
 
Essayons de partir sur de nouvelles bases. Comparons 
\textcolor{red}{2}^{(2x + 2)} = {\textcolor{red}{2}^x} et \textcolor{red}{10}^{(2x + 2)} = {\textcolor{red}{10}^x} 
et nous aurions vu que l’égalité des deux membres implique l’égalité des exposants ; 
de même en base 2 ( ie en binaire) 
 
Troisième conclusion, un exercice n’est que rarement une banalité 
dont l’objectif serait de passer le temps ou de vérifier que l’élève a compris,
ou même des acrobaties pour s’entretenir pour les olympiades mathématiques, 
les profs de math sont incorrigibles, ils ont cette propension constante 
à faire découvrir un point précis de leur paysage. 
 

 

 

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