Où est le belvédère ?

Mise à jour 2023-11-17 par Mathilde Ohm

39. En pratique

Changer de point de vue, voir autrement pour y découvrir un aspect insoupçonné, ou recherché,
oui, mais comment ?

$\dfrac{1}{x(x-1)}$

$\dfrac{1}{x(x-1)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x-1}$

comme on le fait pour $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{2 \times 3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$

Les égyptiens exprimaient les fractions au moyen d’une somme de fractions.

Au collège nous avons commencé à exprimer une expression mathématique soit par un produit soit par une somme.

On peut donc, légitimement envisager de trouver une somme d’éléments simples, une somme de deux fractions telle que :

L’objectif est donc clairement de déterminer a et b. Plutôt que de partir à l’aveuglette,

penser qu’il faille traduire est un pas en avant pour aboutir,

mais précisément, traduire quoi et comment ?

Pour mémoire, en novembre dernier, nous avons dit, entre autres et en vrac 80)

Pour voir loin, il faut regarder de près
Penser par moi-même ce n’est pas faire l’idiot seul à se comprendre
mais bien plutôt se mettre à la place de l’autre et imaginer sa réponse.
Faire des parallèles (ici les corrections du profs et tes remarques)
est un bon révélateur.
Attention à rédiger ta réponse. Un nombre, en guise de réponse, ne suffit pas.
Il faut expliciter la démonstration qui mène à la valeur obtenue
Il existe un plan d’étude des fonctions (domaine de définition, variations …)
Gardons à l’esprit qu’il s’agit de rassembler différentes façons de se faire une idée
de ce qu’est telle ou telle fonction (parabole, hyperbole, ….)
Souvenons-nous que ce n’est pas la technique qui nous guide !
chi va piano, va sano e va lontano.
Faire un dessin
Reformuler en d’autres termes,
Faire des rapprochements avec des éléments ± connus
Partir de l’objectif (c’est l’objet du moment)
Chercher les relations en observant (pas de tâtonnement)
Les exercices nous apprennent des compléments du cours
De plus, les exercices nous font découvrir quelque chose de nous :
Nous avons des à priori (ex : vérifier est une perte de temps au contrôle, …) des croyances qui nous desservent,
parfois, quand elles sont erronées ou trop vague (ex : il faut mettre au même dénominateur, il faut passer de l’autre côté…).
Gagner du temps consiste souvent à ne pas en perdre. Pour cela il est utile de s’assurer de ne pas être hors-sujet

Trouver des équivalents au membre de gauche comme $\left(x(x-1)\right)^{-1}$ est, certes,

une tentative, qui a sans doute pour objectif de faire naître une forme reconnaissable ;

en développant, entre les parenthèses, on obtient $\left(x^2-x\right)^{-1}$ guère plus parlant.

Poursuivre cette première idée et insister à trouver une expression qui révèle a et b

par le plus grand des hasards serait un entêtement stérile.

Prenons du recul : on cherche a et b. Il convient donc d’isoler l’un ou l’autre.

En considérant le membre de gauche on peut écrire :

$\dfrac{1}{x(x-1)} = \dfrac{a(x-1)+bx}{x(x-1)}$

L’égalité des fractions et de leur dénominateur conduit à conclure : $a (x-1) + bx = 1$ .

Cette égalité n’est pas très engageante avec ses 3 termes, $a, b$ et $x$ , indéterminés.

Fixer $a = -1$ conduit à se demander quelle valeur de $b$ assurerait une validité à l’équation :

$-x +1 + bx = 1$ soit $x (b -1) = 0$ équation produit nul vérifié pour $b = 1$ .

On vérifie $\dfrac{-1}{x} + \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{-x+1+x}{x(x-1)} = \dfrac{1}{x(x-1)} \Box$

Reste le sentiment d‘avoir tâtonné et d’obtenir un résultat difficile à reproduire et systématiser.

Recommençons avec $\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$

Le dénominateur est le produit de deux facteurs, essayons de déterminer $a$ et $b$ tel que :

$\dfrac{1}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{a}{x+1} + \dfrac{b}{x+2}$

Pour isoler a, il faut se débarrasser du dénominateur de la fraction $\dfrac{a}{x+1}$ ,

si cette expression est bien définie pour $\matbb{R}\backslash\{-1\}$ ,

cela nous autorise à multiplier les deux termes de la fraction par $x + 1$ et donc écrire :

$\dfrac{1 \textcolor{red}{\times (x+1)} }{(x+1)(x+2)} = \dfrac{a \textcolor{red}{\times (x+1)} }{x+1} + \dfrac{b \textcolor{red}{\times (x+1)} }{x+2}$

soit

$\dfrac{1}{(x+2)} = a + \dfrac{b \textcolor{red}{\times (x+1)} }{x+2}$

où l’on voit que si $\textcolor{red}{x = -1}\quad$ , alors $\quad dfrac {1} { \textcolor{red}{\times -1} +2} = a$

et par conséquent $\qquad \fbox{ a = 1}$

de même on trouve $b = -1$ en considérant

$\dfrac{1 \textcolor{red}{\times (x+2)} }{(x+1)(x+2)} = \dfrac{a \textcolor{red}{\times (x+2)} }{x+1} + \dfrac{b \textcolor{red}{\times (x+2)} }{x+2}$