Abstraction faite Mise à jour 2023-11-17 par Mathilde Ohm
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Caroline est ta Maman,
puis d’autres enfants, au jardin public ou autre, ont aussi une maman,
ensuite vient l’idée d’une maman, avec ses caractéristiques …
ainsi va l’abstraction et l’analogie (3 minutes)
Nous sommes donc capables de parler de « trucs-machins-choses »
en nous intéressant plutôt aux relations entre ces « trucs-machins-choses »
qu’à ces « trucs-machins-choses » eux-mêmes.
Nous savons exemplifier une idée, comme l’idée de chaise exposée au musée Beaubourg
et nous pouvons même discuter sur un exemple de « trucs-machins-choses »
sans exemple, comme les licornes ou les personnages de roman.
Prenons malgré tout un exemple que nous pouvons représenter.
LES CINQ RÈGLES
Au début nous avons introduit les nombres naturels comme des symboles pour les nombres cardinaux.
Ensuite nous avons fait, à leur sujet, les observations suivantes : Il existe deux opérations (appelées aussi lois de composition) binaires internes définies sur l’ensemble des nombres naturels, et nous les appelons addition et multiplication. Les propriétés de ces opérations sont incorporées dans les tables d’addition et de multiplication. En examinant ces tables nous trouvons cinq règles que suivent l’ensemble des nombres naturels : la commutativité et l’associativité de l’addition, la commutativité et l’associativité de la multiplication, et la dis- tributivité de la multiplication par rapport à l’addition. Ces cinq règles ont une signification particulière dans le développement de notre notion de ce qu’est un nombre. Nous trouvons que lorsque nous effectuons des calculs avec les nombres nous n’avons pas à garder présente à l’esprit leur signification première de nombres cardinaux. Il suffit qu’on se les imagine comme des symboles abstraits liés les uns aux autres par des tables d’addition et de multiplication qui suivent ces cinq règles. Ceci nous suggère de redéfinir les nombres de la manière suivante : On appelle ensemble numérique toute collection d’objets sur lesquels sont définies deux opérations appelées addition et multiplication, telles que l’addition soit commutative et associative, la multi- plication commutative et associative, et la multiplication distributive par rapport à l’addition.
Cette définition est une déclaration d’indépendance pour la notion d’ensemble numérique. Elle libère celui- ci de ses ancêtres les nombres cardinaux et lui permet de vivre sa propre vie. Elle lui permet de croître et de s’étendre. Lorsqu’on définit un ensemble numérique de cette façon, on trouve qu’il n’y a pas seulement un ensemble numérique, mais beaucoup d’ensembles numériques. On trouve, aussi, qu’il est possible pour un ensemble numérique d’être une partie d’un ensemble numérique plus vaste, qui lui-même à son tour est une partie d’un ensemble numérique plus vaste, et ainsi de suite. En réalité, le fond même de ce travail est la construction systématique d’ensembles numériques de plus en plus grands, bâtis sur les nombres naturels. À chaque stade de la construction nous reconnaîtrons avoir construit un ensemble numérique lorsque nous aurons vu qu’il possède deux opérations binaires internes qui suivent les cinq règles :
On peut définir une addition et une multiplication pour les points d’une droite au moyen de constructions géométriques. Voici, par exemple, une façon de procéder. Pour additionner a et b , on porte depuis a, dans la direction opposée à 0, une longueur égale à la distance de 0 à b. Le point déterminé de cette manière a une distance à 0 égale à a + b .
Pour multiplier a et b, on trace d’abord une autre droite coupant la première. On associe encore de la même manière, comme pour l’addition, des nombres à certains points de cette droite. On place les points 1′,2′,3′,… sur la nouvelle droite, de telle sorte que les points successifs soient séparés par des longueurs égales entre elles, toutes égales à la distance de 0 à1 .
On place b’ sur la nouvelle droite à une distance de 0 égale à b. Ensuite par b’ on trace la parallèle à la droite joignant 1′ à a. Elle coupera la première droite en un point qui représentera a x b (Figure 2).
La construction de la multiplication correspond à la multiplication ordinaire pour la raison
que voici :
Si nous désignons parxle point que nous avons défini comme le produit de a et b alors x est sa distance à 0.
Les triangles (01′ a) et (0b’ x) sont semblables (théorème de Thalès), donc leurs côtés
homologues sont proportionnels. Par conséquent1/b = a/x.
De cette proportion, nous tirons. que x = a x b
Muni de l’addition et de la multiplication définies par ces constructions,
l’ensemble de points de la demi droite est isomorphe à l’ensemble des nombres naturels.
Bien entendu ce n’est là qu’un exemple parmi une foultitude de ressemblances.
Comme pour la construction axiomatique de la géométrie (Euclide)
il existe une construction de l’analyse et de l’algèbre partant d’un minimum d’éléments « évidents ».
Commençons par le plus simple, nous verrons les groupes, anneaux, corps et algèbre dans les prochaines heures.
Un magma s’écrit de cette manière (E,*). E étant l’ensemble, par exemple {1,2,3}, ou {a,b,c}, ou N, ou n’importe quel ensemble que l’on choisit arbitrairement.
Dans un magma, il est possible de faire un peu ce que l’on veut, en effet, dans un magma, il n’y a aucune condition ou contrainte sur l’opération, autrement dit, l’opération peut être définie de manière complètement quelconque.
Dans un magma, il est possible de faire un peu ce que l’on veut, en effet, dans un magma, il n’y a aucune condition ou contrainte sur l’opération, autrement dit, l’opération peut être définie de manière complètement quelconque.
Par exemple, prenons un ensemble {♠, ♣, ♥}et dressons un tableau, de combinaison * de ces valeurs :
| ∗ | ♠ | ♣ | ♥ |
| ♠ | ♠ | ♥ | ♣ |
| ♣ | ♠ | ♣ | ♠ |
| ♥ | ♣ | ♥ | ♥ |
Il est important de rappeler que les valeurs des combinaisons ont été choisies arbitrairement.
Il est à présent possible de résoudre ce type d’équation par exemple : ♠ ∗
♥ .
Il est à présent possible de résoudre ce type d’équation par exemple : ♠ ∗
♥ . On voit, grâce au tableau, que la solution de cette équation est ♣
♣ Les propriétés possibles d’un magma :
- On peut dire qu’un magma est commutatif. ∀ x,y ∈ E, x * y = y * x.
- On peut dire qu’un magma est associatif. ∀ x,y,z ∈ E, on a x *(y * z) = (x * y)* z.
- Il peut exister élément neutre : e ∈ E, ∀ x ∈ E, x * e = e * x = x
Un magma ne possède pas forcément toutes ces propriétés, elles ne sont pas nécessairement cumulables. Un magma peut très bien posséder un élément neutre, mais ne pas être commutatif, d’où le fait de préciser l’importance du sens dans la définition de l’élément neutre.
Un monoïde est un magma associatif et unifère (E,*). Cela signifie simplement que l’ensemble possède un élément neutre.
Avec ce peu de définitions, il est déjà possible de faire notre première démonstration d’un théorème.
Un monoïde n’ a qu’un seul élément neutre.
Démonstration
Comme dans beaucoup de preuves d’unicité (« un seul ») en mathématiques, on suppose que l’objet dont on veut démontrer l’unicité existe en deux exemplaires, et on montre que ces deux n’en forment en fait qu’un.
Supposons donc que notre monoïde M ait deux éléments neutres e1 et e2 , et montrons que e1 = e2 .
Utilisons la loi de composition notée
Nous avons e1 = e1e2 , car e2 est élément neutre.
Mais aussi e1e2 = e2 , car e1 est élément neutre.
Donc e1 = e2 , ce qu’il fallait démontrer.
Comme dans beaucoup de preuves d’unicité (« un seul ») en mathématiques, on suppose que l’objet dont on veut démontrer l’unicité existe en deux exemplaires, et on montre que ces deux n’en forment en fait qu’un.
Supposons donc que notre monoïde M ait deux éléments neutres e1 et e2 , et montrons que e1 = e2 .
Utilisons la loi de composition notée
Nous avons e1 = e1
Mais aussi e1
Donc e1 = e2 , ce qu’il fallait démontrer.
